Qual é o produto das raízes da equação [log(x)] 2 - log(x2 ...
[log(x)] 2 - log(x2 ) - 3 = 0 ?
Alguém pode resolver essa? Tô precisado de ajuda...
log x = y
y² - 2y - 3 = 0
y = 3 e y = -1
log x = 3 => x = 10³
log x= -1 => x = 10^-1
10³.10^-1=10²=100
Para resolvermos este problema, devemos lembrar das propriedades de logaritmo e como se resolve uma equação logarítmica. Vejamos:
log(x2) pode ser escrito como 2.log(x), utilizando a propriedade logaritmo da potência (verifique!).
[log(x)]2 – log(x2) – 3 = 0 , então [log(x)]2 – 2.log(x) – 3 = 0.
Agora, vamos fazer uma substituição para nos ajudar na resolução, vamos fazer
log(x) = y.
[log(x)]2 – 2.log(x) – 3 = 0.
y2 – 2.y – 3 = 0
Resolvendo a equação do 2° grau acima:
Mas, a equação original se encontra na incógnita x, então vamos “voltar”.
Produto das raízes = 0,1.1000 = 100.
Não estou acostumado com essas questões. Mas vamos em frente.
Complicado essa questão. Muitas substituições
Eu entendi que ele queria o produto das raízes da equação que são 3 e -1. Não o produto dos logs.
Qual é o produto das raízes da equação [log(x)]^2 - log(x^2 ) - 3 = 0 ?
As raízes, para quem não sabe, é ou são os valores de x para quais a equação é igual a zero.
Ele quer o produto das raízes dessa equação.
Vamos encontrá-las então.
Tomar cuidado com o sinal de menos ali no meio.
[Log (x). Log (x)] - 2Log (x) - 3 = 0 (vamos usar a substituição de variável para encontrar o valor de Log (x), e não as raízes da equação.
Dessa forma, visto q é possível nesse caso: Log (x) = y.
Portanto, y^2 - 2y - 3 = 0
Vamos fazer por Soma e Produto, visto que o coeficiente de a=1 (1y^2)
Logo, S= 2, P = -3, logo = (3, -1), ou seja, 3-1 = 2, e 3*-1 = -3
Essas não são as raízes da equação. São os valores de Log (x).
Agora, vamos achar as raízes, ou seja, os valores de x.
Primeira raíz,
Utilizar a definição de Log.
Log x1 = 3
10^3 = x1
Segunda raíz,
Utilizar a definição de Log.
Log x2 = -1
10^-1 = x2
Verificar a CE.
x>0, então ambas as raízes atendem, ou seja, 10^3>0 e 10^-1>0
Agora, basta calcular o produto delas,
Portanto,
Produto
10^3 = 1000
10^-1 = 1/10
1000 x 1/10 = 100
Letra D
Se substituir x por 1000 teremos log 1000 que é 3. Com isso teríamos 3²-2*3-3, o resultado disso é 0. Joguei essa equação também em solvers de equação e também cheguei a esse mesmo gabarito (letra E)
[Log (x) ]^2 - Log (x^2) - 3 = 0
Substitua Log (x) = y
y^2 - 2y -3 = 0
raizes:
- y = 3
- y"= -1
Substitua y = Log (x)
- Log X = 3 :. x = 10^3 :. x =1000
- Log x" = -1 :. x" = 10^-1 :. x=1/10
Produto das Raizés:
x * x" = 100
[Log (x) ]^2 - Log (x^2) - 3 = 0
Substitua Log (x) = y
y^2 - 2y -3 = 0
raizes:
- y = 3
- y"= -1
Substitua y = Log (x)
- Log X = 3 :. x = 10^3 :. x =1000
- Log x" = -1 :. x" = 10^-1 :. x=1/10
Produto das Raizés:
x * x" = 100
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