Uma empresa tem custo total (CT) dado pela expressão CT = 1...

Tema Central da Questão:

Esta questão aborda o conceito de custo total (CT) de uma empresa, expressa em função da quantidade produzida (q). Para resolvê-la, é necessário compreender como derivar funções de custo para encontrar o custo marginal, o custo total médio, o custo fixo médio e o custo variável médio. Esses conceitos são fundamentais na análise econômica das empresas, pois ajudam a determinar a eficiência e a rentabilidade da produção.

Resumo Teórico:

O Custo Total (CT) é a soma dos custos fixos e variáveis de uma empresa. A expressão dada é CT = 10 + 2q + 0,1q², onde:

• Custo Fixo (CF): Parte do custo que não varia com a quantidade produzida, neste caso, 10.
• Custo Variável (CV): Parte do custo que varia com a quantidade produzida, aqui representada por 2q + 0,1q².

Justificando a Alternativa Correta (B):

Para encontrar o Custo Total Médio (CTM), dividimos o Custo Total (CT) pela quantidade produzida (q):

CTM = \(\frac{CT}{q} = \frac{10 + 2q + 0,1q²}{q} = \frac{10}{q} + 2 + 0,1q\)

O Custo Total Médio Mínimo ocorre onde sua derivada em relação a q é zero. Derivando e igualando, temos:

\(\frac{d(CTM)}{dq} = -\frac{10}{q²} + 0,1 = 0\)

Resolvendo, encontramos q = 10, justificando a alternativa B.

Análise das Alternativas Incorretas:

A - O custo marginal (CMg) é calculado derivando o custo total (CT) em relação a q: CMg = \(\frac{d(CT)}{dq} = 2 + 0,2q\). Quando q = 3, CMg = 2 + 0,2 \times 3 = 2,6. Portanto, não é 5.

C - Substituindo q = 3 em CT = 10 + 2 \times 3 + 0,1 \times 3² = 16,9, não 12.

D - O custo fixo médio (CFM) é dado por CFM = \(\frac{CF}{q}\). Assim, CFM = \(\frac{10}{q}\) e diminui continuamente com o aumento de q, logo o mínimo não ocorre em q = 3.

E - O custo variável médio (CVM) é CVM = \(\frac{CV}{q} = \frac{2q + 0,1q²}{q} = 2 + 0,1q\). Não atinge mínimo ao valor de 3, pois depende de q.

Conclusão:

A alternativa correta é B, que afirma que o custo total médio mínimo ocorre, quando q = 10.

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A curva de custo marginal corta a curva de custo médio em seu mínimo. Logo o ponto mínimo do custo médio é aquele no qual o Cme = Cmg.

2 + 0,2*q = 10/q + 2 + 0,1*q

q* = 10. Letra b

PRESSUPOSTOS MATEMÁTICOS

Teorema dos limites: f’(x) = lim (h→ 0) ∂y / ∂x = ∆y / ∆x = { y(x+h) – y(x) } / (x + h – x)

Ponto extremo da curva: f’(x) = 0

Rmg = ∂Rt / ∂q = ∆Rt / ∆q (e Cmg = ∂Ct / ∂q = ∆Ct / ∆q)

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Ct = 10 + 2q + 0,1q^2

Cmg = 0 + 2 + 0,2q

Cmg(3) = 0 + 2 + 0,2(3) = 2,6 (ALTERNATIVA A FALSA)

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Cme = 10q^-1 + 2 + 0,1q

Ponto extremo da curva: f’(x) = 0

Cme mínimo: Cme’(q) = 0

Cme’(q) = -10q^-2 + 0 + 0,1

0 = -10q^-2 + 0 + 0,1

10q^-2 = 0,1

10 = 0,1q^2

q = 10 (GABARITO: B)

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Ct(3) = 10 + 2(3) + 0,1(3)^2 = 10 + 6 + 0,1(9) = 16,9 (ALTERNATIVA C FALSA)

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Cf = 10

Cfme = 10/q (não há mínimo, curva hiperbólica: ALTERNATIVA D FALSA)

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Cv = 10 + 2q

Cvme = 2 (não há mínimo, é uma constante: ALTERNATIVA E FALSA)

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GABARITO: B

Bons estudos!

Complementando a resolução do Pablo Motta:

A curva de custo marginal corta a curva de custo médio em seu mínimo. Logo o ponto mínimo do custo médio é aquele no qual o Cme = Cmg.

CT = 10 + 2q + 0,1q^2

CMg é a derivada do custo total.

CMg = 2 + 0,2q

Cme = CT/q

Cme = (10 + 2q + 0,1q^2)/q

Cme = 10/q + 2 + 0,1q

Cme = Cmg

10/q + 2 + 0,1q = 2 + 0,2q

10/q = 0,1q

q^2 = 100

q = +10 ou -10

como a quantidade não pode ser negativa, q = 10.