Gabarito: B

Vamos começar explicando o tema central da questão. Trata-se do cálculo e análise de custos em microeconomia, uma habilidade crítica para o cargo de Economista. Compreender como os custos variam com a produção ajuda a determinar preços e avaliar a eficiência de uma empresa.

O conceito-chave aqui é o Custo Total (CT), que é a soma dos custos fixos e variáveis associados à produção de uma quantidade q. A expressão dada para o custo total é: CT = 10 + 2q + 0,1q².

Para encontrar a alternativa correta, precisamos entender alguns conceitos fundamentais:

• Custo Marginal (CM): a variação do custo total quando se produz uma unidade adicional. Calcula-se derivando o CT em relação a q.
• Custo Total Médio (CTM): é o custo total dividido pela quantidade produzida, ou CT/q.
• Custo Fixo Médio (CFM): é o custo fixo dividido pela quantidade produzida.
• Custo Variável Médio (CVM): é o custo variável dividido pela quantidade produzida.

Agora, vamos analisar cada uma das alternativas:

Alternativa A: O custo marginal é calculado derivando a função CT em relação a q. A derivada de CT = 2 + 0,2q. Quando q = 3, CM = 2 + 0,2(3) = 2,6. Portanto, a alternativa A está incorreta.

Alternativa B: Para encontrar onde o custo total médio é mínimo, devemos derivar a função CTM e igualar a zero. CTM = (10/q) + 2 + 0,1q. Derivando e igualando a zero: -10/q² + 0,1 = 0, chegamos em q = 10. Logo, a alternativa B está correta.

Alternativa C: Substituindo q = 3 na função CT, temos CT = 10 + 2(3) + 0,1(3)² = 10 + 6 + 0,9 = 16,9, não 12. Portanto, está errada.

Alternativa D: O custo fixo médio diminui com o aumento de q, portanto, não faz sentido dizer que possui um mínimo para q = 3. Está incorreta.

Alternativa E: O custo variável médio é calculado em função de q e não é constante, então a afirmação está incorreta sem uma análise detalhada.

Concluindo, a alternativa correta é B, onde o custo total médio é mínimo para q = 10.

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A curva de custo marginal corta a curva de custo médio em seu mínimo. Logo o ponto mínimo do custo médio é aquele no qual o Cme = Cmg.

2 + 0,2*q = 10/q + 2 + 0,1*q

q* = 10. Letra b

PRESSUPOSTOS MATEMÁTICOS

Teorema dos limites: f’(x) = lim (h→ 0) ∂y / ∂x = ∆y / ∆x = { y(x+h) – y(x) } / (x + h – x)

Ponto extremo da curva: f’(x) = 0

Rmg = ∂Rt / ∂q = ∆Rt / ∆q (e Cmg = ∂Ct / ∂q = ∆Ct / ∆q)

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Ct = 10 + 2q + 0,1q^2

Cmg = 0 + 2 + 0,2q

Cmg(3) = 0 + 2 + 0,2(3) = 2,6 (ALTERNATIVA A FALSA)

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Cme = 10q^-1 + 2 + 0,1q

Ponto extremo da curva: f’(x) = 0

Cme mínimo: Cme’(q) = 0

Cme’(q) = -10q^-2 + 0 + 0,1

0 = -10q^-2 + 0 + 0,1

10q^-2 = 0,1

10 = 0,1q^2

q = 10 (GABARITO: B)

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Ct(3) = 10 + 2(3) + 0,1(3)^2 = 10 + 6 + 0,1(9) = 16,9 (ALTERNATIVA C FALSA)

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Cf = 10

Cfme = 10/q (não há mínimo, curva hiperbólica: ALTERNATIVA D FALSA)

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Cv = 10 + 2q

Cvme = 2 (não há mínimo, é uma constante: ALTERNATIVA E FALSA)

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GABARITO: B

Bons estudos!

Complementando a resolução do Pablo Motta:

A curva de custo marginal corta a curva de custo médio em seu mínimo. Logo o ponto mínimo do custo médio é aquele no qual o Cme = Cmg.

CT = 10 + 2q + 0,1q^2

CMg é a derivada do custo total.

CMg = 2 + 0,2q

Cme = CT/q

Cme = (10 + 2q + 0,1q^2)/q

Cme = 10/q + 2 + 0,1q

Cme = Cmg

10/q + 2 + 0,1q = 2 + 0,2q

10/q = 0,1q

q^2 = 100

q = +10 ou -10

como a quantidade não pode ser negativa, q = 10.