Alguma alma caridosa resolveu essa questão?

A energia cinética é descrita por K = (1/2)mu², sendo m a massa em kg e u a velocidade transversal em m/s. Veja que chamamos a velocidade do elemento na corda, que é transversal (eixo y), de u, para não confundirmos com a velocidade v da onda, que atua no eixo longitudinal (eixo x).

O problema nos diz que:

μ (densidade linear) = 20,0 g/m, l (comprimento) = 0,50 cm. Com esses valores podemos calcular a massa, pois m = μ.l

Da Equação podemos extrair que: ym = 0,005 m; ω = 10 π rad/s; e k =  π rad/m. Onde ym é a amplitude do movimento da em metros, ω é a frequência angular dada em radianos por segundo e k é número de onda dado em radianos por metros.

A velocidade transversal u é da derivada parcial da posição (y [x,t]) em relação ao tempo (t).

Fazendo então u = dy(x,t)/dt, temos que u(x,t) = ω.ym.sen(kx – ωt).

Colocando os valores de m e u em K, temos:

K = (1/2) μ.l.[ω.ym.sen(kx – ωt)]² = μ.l.ω².ym².sen²(kx – ωt).

O problema solicita a energia cinética máxima. Neste caso, K sendo uma função de y e t será máxima quando o valor da função sen² for máximo, onde a função sen² varia de 0 à 1, logo K (x,t) será máximo quando sen²=1.

Assim, Kmáx = μ.l.ω².ym²

Substituindo os valores dados pelo problema, temos:

Kmáx = (1/2).(0,02 [kg/m]).(0,005[m]).(10.π[rad/s])².(0,005[m])² = 1,2337 μ J.

Gabarito, letra D. 

Deus é mais!

• A massa do elemento (em kg) é: m =  μ* L = (20 * 10^-3)*(0,5*10^-2) = 1*10^-4 kg;
• Em uma onda transversal, as partículas só se movem na direção vertical (a direção horizontal é o movimento dos picos e vales). Basta lembrar da "ola" de estádio, as pessoas só se movem levantando os braços (direção vertical), no entanto, não se movem para a direita ou esquerda (direção horizontal). Portanto, a única velocidade vai ser na vertical;
• Vy = dy(x,t)/dt = -0.005*sin(πx - 10πt)*(-10π) -> Considera-se x constante e aplica a regra da cadeia;
• Vy é máximo quando sin(πx-10πt) =1, portanto: Vymax = 0.005*10π = 0.05π m/s
• Kmax = 1/2*m*Vymax^2 = (1/2)*(10^-4)*(0.05π)^2 = 1,2*10^-6 J = 1,2 micro-joules