Esta questão exige o conhecimento sobre Distribuições Conjugadas na Inferência Bayesiana, especificamente o par Binomial-Beta.

Quando temos uma verossimilhança Binomial (n,y) e uma priori Beta (α0​,β0​), a distribuição a posteriori também será uma Beta com os seguintes parâmetros atualizados:

• αpos​=α0​+y
• βpos=β0+(n−y)

Dados do problema: n=75 e y=15.

• A) INCORRETA: Sob uma priori uniforme (que é uma Beta(1,1)), a posteriori é uma distribuição Beta, e não uma Normal. A Normal seria apenas uma aproximação para amostras muito grandes.
• B) INCORRETA: Vamos calcular os parâmetros para a priori uniforme (α0=1,β0=1):
• αpos=1+15=16
• βpos=1+(75−15)=1+60=61
• Portanto, a posteriori seria Beta(16, 61), e não Beta(16, 76).
• C) CORRETA: A Priori de Jeffreys para a distribuição Binomial é uma Beta(0,5; 0,5). Aplicando a atualização:
• αpos=0,5+15=15,5
• βpos=0,5+(75−15)=0,5+60=60,5
• A posteriori é, de fato, uma Beta(15,5; 60,5).
• D) INCORRETA: A distribuição preditiva a priori (marginal dos dados) sob uma priori uniforme para uma Binomial é uma distribuição Uniforme Discreta no suporte {0,1,…,n}, e não uma Beta.
• E) INCORRETA: A distribuição preditiva (marginal) para um modelo Binomial com priori Beta é a distribuição Beta-Binomial, e não uma Binomial simples.