Comentário do Gabarito – Resolução completa da Inequação Quadrática

Para resolver a inequação $x^2-5x+6<0$ utilizamos a seguinte sequência de raciocínio:

1. Definição: Uma inequação do 2º grau tem a forma $a{x}^2+bx+c<0$, onde a ≠ 0.

2. Passo a passo:

• a) Encontre as raízes da equação associada: Resolva $x^2-5x+6=0$ usando a fórmula de Bhaskara:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Nesse caso, $a=1$, $b=-5$, $c=6$. Então:

$x=\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}$

Raízes: $x=2$ e $x=3$

• b) Estudo de sinais: Essas raízes dividem a reta em três intervalos: (−∞, 2), (2, 3) e (3, ∞). Para determinar onde a função é negativa, escolha um valor em cada intervalo:

• Para x = 1: $1^2-5\times 1+6=2$ (positivo)
• Para x = 2.5: ${2.5}^2-5\times 2.5+6=-0.25$ (negativo)
• Para x = 4: $4^2-5\times 4+6=2$ (positivo)

• c) Interpretação: O intervalo solução é onde a função é negativa, ou seja, (2, 3).

Justificativa e análise das alternativas: A única alternativa correta é B) 2 < x < 3, pois corresponde exatamente ao intervalo solicitado. As demais incluem pontos fora do intervalo negativo ou os próprios zeros.

Dica para concursos: Atenção ao tipo de desigualdade (“<”, “≤”, “>”), não inclua as raízes se não for “≤” ou “≥”. Revise sinais e não esqueça de testar pontos intermediários.

Referências: Iezzi & Murakami – Fundamentos da Matemática Elementar; Dante – Matemática.

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De Bháskara:

x = (-b +- sqrt(b² - 4*a*c) / (2 * a))

a = 1;

b = -5;

c = 6.

Logo,

x = 5 +- sqrt((-5)² - 4 * 1 * 6) / (2 * 1) → x = (5 +- sqrt(25 - 24)) / 2 → x = (5 +- 1)/2

Temos que:

x1 = (5 + 1)/2 → x1 = 3.

x2 = (5 - 1)/2 → x2 = 2.

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Outra forma:

x² − 5x + 6 = 0

Fatorando:

(x - 2)*(x - 3) = 0

Logo,

x - 2 = 0 .: x = 2.

ou

x - 3 = 0 .: x = 3.

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Para a inequação, temos que x > 2 e x < 3.

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Gabarito:

B) 2 < x < 3