Comentário da questão:

Nesta questão de Geometria Plana, o tema central é o cálculo do comprimento de um lado desconhecido em um triângulo qualquer, conhecido dois lados e o ângulo entre eles. O método correto é a aplicação da Lei dos Cossenos.

Definição – Lei dos Cossenos:

Em um triângulo de lados $a$, $b$ e $c$, com ângulo $\gamma$ oposto a $c$, tem-se: $c^2=a^2+b^2-2ab·cos\left(\gamma \right)$

Aplicando à questão:

Dados dois lados ($A=10$ cm, $B=6$ cm) e o ângulo entre eles ($\gamma =60°$), vamos calcular o terceiro lado ($C$):

$C^2={10}^2+6^2-2106cos(60°)$

Sabendo que cos(60°) = 0,5:

$C^2=100+36-21060.5$

$C^2=136-60=76$

Concluindo:

$C=\sqrt{76}=\sqrt{419}=2\sqrt{19}$ cm

Portanto, a alternativa correta é a D) $2\sqrt{19}$ cm.

Dica de prova: Cuidado com distrações nas alternativas (como $\mathrm{\surd 50}$ ou valores inteiros), pois só a aplicação rigorosa da Lei dos Cossenos garante o resultado.

Referência: Iezzi & Dolce, “Fundamentos de Matemática Elementar – Trigonometria” e Dante, “Matemática: Contexto e Aplicações”.

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vamos usar a lei dos cossenos, pois temos dois lados e um Ângulo entre eles:

x²=a²+b²-2.a.b.Cos 60°

x²= 6²+10² - 2.6.10.1/2

x²= 36 + 100 - 60

x²= 136-60

x² = 76

x= raiz 76

vamos fatorar o 76

76/2

38/2

19/19

= raiz 2².19

Vamos tirar o 2 da raiz:

2 raiz19