Tema Central da Questão: A questão aborda a programação linear, um método matemático utilizado para otimizar (maximizar ou minimizar) uma função objetiva, sujeita a restrições. Neste caso, o objetivo é maximizar o lucro de uma fábrica que produz dois tipos de aditivos automotivos.

Resumo Teórico: Em programação linear, a função objetivo é a função que desejamos otimizar. As restrições são equações ou desigualdades que limitam as possibilidades de solução, baseadas em recursos finitos. A solução ótima é aquela que maximiza ou minimiza a função objetivo dentro das especificações das restrições.

Análise da Alternativa Correta:

Alternativa B - 200 litros do aditivo X e 500 litros do aditivo Y: Esta é a alternativa correta. Para determiná-la, consideramos as restrições de capacidade e matéria-prima. A fábrica pode produzir até 1000 litros de X e 500 de Y, mas como Y consome o dobro da capacidade, se produzirmos 500 litros de Y, a capacidade restante é para 1000 - (2*500) = 0 litros de X. Assim, ajustamos para maximizar o lucro. A solução de 200 litros de X e 500 de Y atende a todas as restrições e maximiza o lucro: (200 * 5) + (500 * 11) = 5700 reais.

Análise das Alternativas Incorretas:

• A - 50 litros do aditivo X e 500 litros do aditivo Y: Embora respeite as restrições, não maximiza o lucro, pois a produção de X poderia ser aumentada.
• C - 300 litros do aditivo X e 500 litros do aditivo Y: Excede a capacidade total de produção, pois 500 litros de Y já consomem toda a capacidade disponível.
• D - 1000 litros do aditivo X e 100 litros do aditivo Y: Não maximiza o lucro, pois a produção de Y poderia ser aumentada sem violar as restrições.
• E - 1000 litros do aditivo X e 500 litros do aditivo Y: Esta opção excede a capacidade máxima da planta, pois 500 litros de Y consomem toda a capacidade disponível para X.

Estratégia de Resolução: Ao abordar questões de programação linear, é crucial identificar a função objetivo e todas as restrições. Depois, calculamos a solução ótima que respeite todas as restrições, frequentemente explorando limites de capacidade e recursos.

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Questão muito legal!! Vamos entender os dados que são fornecidos:

Lx = 5; o lucro de produdir 1 unidade de x é 5;

Ly = 11; o lucro de produzir 1 unidade de y é 11; 

A planta produz X e Y;

Se para produzir Y a planta precisa do espaço necessário para produzir 2X, quer dizer que a inclinação da reta é -2;

Há capacidade para produzir Y = 600, limitado a 500, por restrições de matéria prima;

Implicitamente, sabe-se que a produção máxima de X = 1.200, pois é o dobro de Y, limitado a 1.000. 

Perceba que produzir Y é um bom negócio, porque, mesmo que você precise do dobro do espaço que produzir X, o lucro é mais que o dobro! Ly / Lx = 11 / 5 = 2,2.

O melhor dos negócios seria, portanto, produzir 600Y, que daria um lucro de 6.600. Mas não dá pra produzir 600Y, porque não há matéria prima suficiente, como afirma a questão. Só dá pra produzir 500. Dessa forma, há ociosidade de produção de 100Y que segundo os dados dá pra produzir o dobro de X, com essa ociosidade de Y.

Então vamos produzir 200X para preencher a lacuna de produção do Y, mantendo Y na produção máxima.

Sabendo que os lucros dos aditivos X e Y são, respectivamente, 5 e 11 reais, e que a produção do aditivo Y requere o dobro da capacidade produtiva para produzir X. Além disso, ele pode produzir até 600 litros do aditivo Y, se optar por somente ele. Podemos concluir que:

É melhor se dedicar a produzir o aditivo Y (1000*5 = 5000 e 500*11 = 5500)

Logo, jogando com as opções, vamos de 500 litros de aditivo Y (valor de 5500 reais). Como a especialização possibilita 600 litros de Y, os 100 restantes pode deixar para a produção do aditivo X, que trará a produção de 200 litros de X.

Gabarito: b)