Uma membrana elástica no plano xOy tem sofrido uma
deformação de modo que cada par (x, y) sobre ela tem sido
mapeado em um novo ponto T(x, y) = (w, s) de acordo com a
transformação T(x, y) = (5x + 4y, 5y + x).
Com base na situação apresentada, assinale a opção que
apresenta as direções principais dessa deformação e os
correspondentes fatores de contração e(ou) de extensão.

Question

Uma membrana elástica no plano xOy tem sofrido uma
deformação de modo que cada par (x, y) sobre ela tem sido
mapeado em um novo ponto T(x, y) = (w, s) de acordo com a
transformação T(x, y) = (5x + 4y, 5y + x).
Com base na situação apresentada, assinale a opção que
apresenta as direções principais dessa deformação e os
correspondentes fatores de contração e(ou) de extensão.   Alternativa A: direção principal x1 = (-2,1), associada ao fator λ1 = 3;direção principal x2 = (2,1), associada ao fator λ2 = 7 Ou Alternativa B: direção principal x1 = (- 1/2, 1), associada ao fator λ1 = 3;
direção principal x2 = (1/2,1), associada ao fator λ2  = 7 Ou Alternativa C: direção principal x1 = (2 - 2√6,5), associada ao fator λ1 = 3 - 2√6; direção principal x2 =(2 + 2√6,5),
associada ao fator λ2 = 3 + 2√6 Ou Alternativa D: direção principal x1 = (1, -2), associada ao fator λ1 = -3;
direção principal x2 = (1, -3) associada ao fator λ2 = -7 Ou Alternativa E: direção principal x1 = (1, -8), associada ao fator λ1 = -3;
direção principal  x2 = (1, -12), associada ao fator λ2 = -7

mauk · Accepted Answer

Alternativa [A] direção principal x1 = (-2,1), associada ao fator λ1 = 3;direção principal x2 = (2,1), associada ao fator λ2 = 7 Na base canônica B = {(1, 0), (0, 1)}: T(1, 0) = (5, 1)T(0, 1) = (4, 5)[T]b = [5   4]..........[1   5] Cálculo de autovalores de T:λI - [T]b = [λ-5   -4]................[-1   λ-5]det(λI - [T]b) = (λ - 5)² - 4 = 0 → λ1 = 7 e λ2 = 3 Autovetor de T para λ1:(3I - [T]b)v1 = 0[-2   -4][x] = [0][-1   -2][y]....[0]→ x = -2yy = 1 → v1 = (-2, 1) Autovetor de T para λ2:(7I - [T]b)v2 = 0[2   -4][x] = [0][-1   2][y]....[0]→ x = 2yy = 1 → v2 = (2, 1)

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Uma membrana elástica no plano xOy tem sofrido uma de...

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