Vamos analisar a questão.

• X=(X1,X2)′∼N(μ,Σ)X = (X_1, X_2)' \sim \mathcal{N} \left( \mu, \Sigma \right), com
• μ=(21),Σ=(9224)\mu = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \Sigma = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}Definição:

Z1=X1−23,Z2=X2−12Z_1 = \frac{X_1 - 2}{3}, \quad Z_2 = \frac{X_2 - 1}{2}Queremos saber se:

E[Z1]=E[X1]−23=2−23=0E[Z_1] = \frac{E[X_1] - 2}{3} = \frac{2 - 2}{3} = 0E[Z2]=E[X2]−12=1−12=0E[Z_2] = \frac{E[X_2] - 1}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0Portanto,

A transformação pode ser representada como:

Z=A(X−μ)Z = A (X - \mu)com

A=(130012)A = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}Então,

Var[Z]=AΣA′\mathrm{Var}[Z] = A \Sigma A'Calculando:

AΣ=(130012)(9224)=(93232242)=(32312)A \Sigma = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{9}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{2} & \frac{4}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & \frac{2}{3} \\ 1 & 2 \end{pmatrix}Agora,

Var[Z]=(113131)\mathrm{Var}[Z] = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & 1 \end{pmatrix}Ou seja, a matriz de variância de ZZ não é a identidade.

O vetor ZZ tem média zero, mas sua variância não é a identidade, pois há covariância diferente de zero.

Logo, a afirmativa de que

Z∼N((00),(1001))Z \sim \mathcal{N}\left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right)está Errada.

Se precisar de mais explicações, só avisar!

não há como afirmar que a covariância será 0.

se a questão dissesse que as variáveis são independentes, aí sim a covariância seria 0 (Isso é sempre verdadeiro.)

quando as variáveis são correlacionadas, a covariância pode ser 0 ou qualquer outro valor.