Alternativa correta: D - 5

Tema central: A questão aborda média aritmética simples e manipulação de dados para grupos, tópicos fundamentais em Estatística Descritiva. É essencial entender como a média é afetada ao remover um elemento de um conjunto de dados.

Resumo teórico: A média aritmética é calculada somando todos os valores do conjunto e dividindo pelo número total de elementos. Se um valor é excluído, devemos recalcular a soma e dividir pelo novo número de elementos. Essa técnica é muito cobrada em concursos, pois exige raciocínio lógico e domínio do conceito básico de média (Fonte: Triola, M.F. - Introdução à Estatística).

Justificativa da alternativa correta:

Seja n o número de atletas antes da exclusão.
A soma das idades do grupo original é S = 22n.
Excluindo o atleta mais velho (30 anos), ficam n - 1 atletas, cuja soma das idades passa a ser S - 30.
A nova média é 20 anos, logo:
S - 30 = 20(n - 1)
Substitua S:
22n - 30 = 20(n - 1)
22n - 30 = 20n - 20
22n - 20n = -20 + 30
2n = 10
n = 5
Portanto, havia 5 atletas no grupo inicialmente.

Análise das alternativas incorretas:

• A - 8, B - 7, C - 6: Ao substituir esses valores na equação, a média não fecha em 20 após excluir o atleta mais velho. São erros comuns de cálculo ou de interpretação da relação entre soma, média e quantidade de elementos.
• E - 4: Também resulta em valor incorreto ao conferir com a fórmula. Lembre-se: sempre verifique se o resultado faz sentido com todos os dados fornecidos.

Dicas para interpretação: Leia atentamente para identificar o que se pede antes e depois da exclusão. Atenção à diferença entre total de elementos antes e depois da retirada de um dado!

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4 atletas com 20

1 com 30

20+20+20+20+30=110

110/5= 22

retire o atleta com 30 anos

80/4=20

D

• n = número de atletas no grupo antes da exclusão do atleta mais velho (ainda não sabemos)
• A soma das idades de todos os atletas no grupo inicial é dada por S.
• A média das idades dos atletas no grupo inicial é 22 anos, então podemos escrever:

S = 22n

>soma da idade de todos os atletas = 22 multiplicado pelo número de atletas

Quando o atleta mais velho, que tem 30 anos, é excluído, a média do grupo passa a ser 20 anos e o número de atletas passa a ser n − 1. A soma das idades do novo grupo, sem o atleta mais velho, é:

S−30=20(n−1)

>>soma de todos os atletas menos a idade do que foi retirado = 20, que continua multiplicando "n"(número de atletas) só que agora - 1 (o que foi retirado)

Agora, temos duas equações:

1. S=22n >> antes da exclusão
2. S−30=20(n−1) >> depois da exclusão

Substituímos onde tem "S" por "22n" na segunda equação. Ficando:

22n−30=20(n−1)

Aplicando distributiva onde está em negrito. Fica:

22n−30=20n−20

Agora isola o "n":

22n - 20n = 30 - 20

2n = 10

N = 10/2

n= 5

S = somatório das idades dos atletas.

T = total de atletas

Média = S / T = 22

Média tirando o mais velho: (S - 30) / (T - 1) = 20

S = 20T + 10

Substituindo o S da primeira equação:

(20T + 10) / T = 22

T = 10 / 2 = 5

Alternativa D

• S−30=20(n−1)

Substituímos o valor de S da primeira equação (22n) na segunda:

22n−30=20(n−1)

Agora, aplicamos a propriedade distributiva e resolvemos para n:

22n−30=20n−20

22n−20n=30−20

2n=10

n=5

O número de atletas que havia no grupo antes da exclusão era 5.

Alternativa Correta: D