questão muito pesada

Como x, y e z estão em PA, o termo do meio é a média dos outros dois: 2y = x + z

A questão nos dá duas situações de PG:

Condição 1 (Soma 10 ao primeiro): (x + 10), y, z formam uma PG. Pela regra da PG: y^2 = (x + 10) x z

y^2 = xz + 10z (Equação 1)

Condição 2 (Soma 20 ao terceiro): x, y, (z + 20) formam uma PG. Pela regra da PG: y^2 = x x (z + 20)

y^2 = xz + 20x (Equação 2)

3. Resolver o sistema

Como y^2 é igual nas duas equações, podemos igualar as duas: xz + 10z = xz + 20x

10z = 20x

z = 2x

Agora, voltamos na regra da PA (2y = x + z) e substituímos o z: 2y = x + 2x

2y = 3x

y = 1,5x (ou 3x/2)

Agora substituímos y e z na Equação 2 para achar o valor de x: (1,5x)^2 = x x (2x + 20)

2,25x^2 = 2x^2 + 20x

2,25x^2 - 2x^2 = 20x

0,25x^2 = 20x (divide por x, pois x não é nulo) 0,25x = 20

x = 20 / 0,25

x = 80

Se x = 80:

y = 1,5 x 80 = 120

z = 2 x 80 = 160

Nossa PA original é: (80, 120, 160). A razão é 40.

I. Uma provável razão para essa PG é 4/3

PG 1: (80+10, 120, 160) -> (90, 120, 160)

Razão = 120 / 90 = 12 / 9 = 4/3 Correto!

II. Uma provável razão para essa PG é 3/2 PG 2: (80, 120, 160+20) -> (80, 120, 180) Razão = 120 / 80 = 12 / 8 = 3/2 Correto!

III. É possível garantir que os termos dessa PG são números inteiros consecutivos Os termos da PG 1 são 90, 120, 160. Eles são inteiros, mas não são consecutivos (consecutivos seriam 90, 91, 92). Incorreto!

Resultado final: Alternativa B.