Para a viga indicada, a seguir, cuja seção transversal é um ...
Considere:
• a coordenada ycg = 212,5 mm em relação aos eixos indicados; • o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo CG e é paralelo à base (horizontal).
Assinale a alternativa CORRETA:
momento fletor máximo positivo: 16,0125 kNm
momento fletor máximo negativo : 22,5 kNm
momento de inércia: 106,13 *10^(6) mm4
distância tracionada para momento máximo positivo: 212,5 mm
distância comprimida para momento máximo positivo: 325-212,5 = 112,5 mm
tensão = (M * y)/I = (16,0125 * 10^3 * 212,5 *10^(-3))/106,13 *10^(6) * 10^(-12) = 32,1MPa (tensão máxima tração para o momento máximo positivo)
(16,0125 * 10^3 * 112,5 *10^(-3))/106,13 *10^(6) * 10^(-12) = 16,97 MPa (tensão máxima compressão para o momento máximo positivo)
(22,5 * 10^3 * 112,5 *10^(-3))/106,13 *10^(6) * 10^(-12) = 23,85 MPa (tensão máxima tração para o momento máximo negativo)
(22,5 * 10^3 * 212,5 *10^(-3))/106,13 *10^(6) * 10^(-12) = 45,05 MPa (tensão máxima compressão para o momento máximo negativo)
Questão não citou em nenhum momento que deveria ser a maior tensão de tração e compressão devido ao momento positivo, o que leva a crer que a tensão máxima pedida deveria ser calculada baseada tanto no maior momento fletor positivo quanto negativo existente na viga. Questão deveria ser anulada ao meu ver.
Os dados do colega Pedro Teixeira estão corretíssimos, quem tá em dúvida em como calcular o momento de inércia, precisa usar o teorema de eixos paralelos. Bom dar uma revisada nesse assunto, a quem não lembre (embora seja um assunto raro de cair em concurso)
A questão é um exercício prático de cálculo de tensões máximas de tração e compressão. A posição dessas tensões normais máximas será a extremidade da seção transversal, a depender do sinal do momento fletor. Se for positivo, a extremidade superior sofrerá compressão e a inferior sofrerá tração. Caso o momento fletor seja negativo, a relação se inverte. A linha que separa as regiões a sofrerem compressão e tração é chamada de linha neutra, representada pela letra x no esquema da Figura 1. Observe que c1 e c2 representam a distância entre a linha neutra e as máximas tensões normais.
Figura 1: Relações entre os sinais dos momentos fletores e as direções das tensões
normais: (a) momento fletor positivo e (b) momento fletor negativo.
Essas tensões máximas são obtidas pelas seguintes relações matemáticas:
Em que M é o valor do momento fletor máximo e I é o momento de inércia da seção transversal. Como o exercício já nos dá a posição da linha neutra em relação à base (ycg = 212,5), sabemos os valores de c2 e c1:
c2 = 212,5 mm = 0,2125m
c1 = 300 + 25 - 212,5 = 112,5 mm = 0,1125m
O momento de inércia da seção será calculado pelo somatório da parcela de cada forma plana que compõe o perfil.
Em que Ix é o momento de inércia da forma plana, A sua área e dy a distância de seu centro de massa ao centróide do perfil, posição de referência para o cálculo do momento de inércia.
dy1 = 325 - 12,5 - 212,5 = 100mm
dy2 = 212,5 - 150 = 62,5mm
Dessa forma, o momento de inércia de cada retângulo será calculado pela fórmula:
Ix = bh³/12
I1 = 150 x 25³ /12 = 195.312,5 mm4
I2 = 20 x 300³ / 12 = 45.000.000 mm4
Assim, o Ix total:
Ix = I1 + A1*dy1² + I2 + A2*dy2²
Ix = 195.312,5 + 150*25*100² + 45.000.000 + 300*20*62,5²
Ix = 106.132.812,5 mm4
Ix = 0,000106 m4
Para encontrar o valor do momento máximo, serão necessários os cálculos de análise estrutural, começando pelo cálculo das reações de apoio. Repare que haverá uma reação de apoio horizontal (HA) no apoio fixo e duas verticais, uma no apoio fixo (VA) e outra no apoio móvel (VB).
Calculando o equilíbrio de forças horizontais:
∑Fx=0
HB = 0
Calculando o equilíbrio de forças verticais::
∑Fy=0
VA + VB - 10*3 - 15 = 0
VA + VB = 45
Calculando o equilíbrio de momento fletor no ponto A, convencionando-se para todas as forças que promovem movimento no sentido horário, o sinal negativo, e todos aqueles momentos no sentido anti horário como positivos. Aqui, o momento será obtido pela multiplicação da força pela distância ao ponto A, sendo, no caso da força distribuída, considerado o ponto de aplicação como o ponto médio:
∑MA=0
-10*3*(1+1,5) + VB*(1+3+1) - 15*(1+3+1+1,5)= 0
-30*2,5 + VB*5 - 15*6,5 = 0
VB = (75 + 97,5)/5
VB = 34,5 kN
Retornando ao resultado anterior:
VA + VB = 45
VA + 34,5 = 45
VA = 10,5 kN
Tendo em mãos agora todas as forças e reações atuantes, podemos construir o diagrama de momento fletor, calculando o momento de cada seção, limitadas a cada ponto em que haja descontinuidade. Um ponto importante é que a convenção aqui é diferente, conforme o quadro da Figura 2:
Figura 2: convenção de sinais para traçado do diagrama de momento fletor
Seção 1: 0 ≤ x ≤ 1
M (X) = VA*x
M (0) = 0
M (1) = VA*1 = 10,5 kNm
Seção 2: 1 < x ≤ 4
M (X) = VA*x - 10*(x-1)*(x-1)/2 = 10,5*x - 5x² + 10x - 5 = - 5x² + 20,5x - 5
M (4) = VA*4 - 10*3*1,5
M (4) = 42 - 45
M (4) = - 3 kNm
Seção 3: 4 < x ≤ 5
M (X) = VA*x - 10*3*(x-2,5)/2
M (5) = VA*5 - 10*3*2,5
M (5) = 52,5 - 75
M (5) = - 22,5 kNm
Seção 4: 5 < x ≤ 6,5
M (X) = VA*x - 10*3*(x-2,5)/2 + VB*(x-5)
M (6,5) = VAx6,5 - 10x3x4 + VBx1,5
M (6,5) = 68,25 - 120 + 51,75
M (6,5) = 0
Repare que todas as seções serão delimitadas por retas, com exceção da seção 2 que será definida por uma parábola, por haver uma função de segundo grau. O momento fletor máximo será o máximo da função:
M(x) = -5x² + 20,5x - 5
x máximo = -b/2a = -20,5/-10 = 2,05
M máximo = -5(2,05)² + 20,5(2,05) - 5 = 16 kNm
Tem-se então o seguinte diagrama:
Figura 3: Diagrama de momento fletor
Agora em relação às seções, retornamos às equações:
Tomando o máximo momento fletor, de 16 kNm, tracionando as fibras inferiores e comprimindo as superiores, temos:
Por fim, conclui-se que as tensões máximas de tração e compressão são, respectivamente, 32,1 MPa e 17,0 MPa, sendo a alternativa D a resposta para a questão.
Gabarito do Professor: Alternativa D.
FONTES: HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para engenharia. 10ª ed., São Paulo: Pearson Brasil, 2005.
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