Para detectar uma doença nas veias, os médicos aplicam um te...
Para detectar uma doença nas veias, os médicos aplicam um teste em que, se o paciente sofre da doença, o resultado positivo é de 99% dos casos, porém, pode acontecer que um indivíduo saudável obtenha um resultado positivo em 2% dos casos. Dados estatísticos mostram que 1 paciente entre 1000 tem a doença. Então, escolheu-se um paciente ao acaso, verificando-se que é positivo. Qual é a probabilidade de o paciente sofrer da doença?
Para resolver esse problema, podemos usar o teorema de Bayes. Vamos denotar os eventos da seguinte forma:
- A: paciente tem a doença (evento positivo).
- B: paciente obteve resultado positivo no teste.
Queremos encontrar a probabilidade de que o paciente realmente tenha a doença dado que o resultado do teste foi positivo, ou seja, P(A∣B).
Podemos calcular P(A∣B) usando a fórmula de Bayes:
P(A∣B)=P(B∣A)⋅P(A)P(B)
Sabemos que:
- P(B∣A) é a probabilidade de obter um resultado positivo no teste dado que o paciente tem a doença, que é de 99%, ou seja, P(B∣A)=0.99
- P(A) é a probabilidade de um paciente ter a doença, que é de 1 entre 1000, ou seja, P(A)=1 /1000
- P(B) é a probabilidade de obter um resultado positivo no teste, que pode ocorrer se o paciente tem a doença (99% dos casos) ou se o paciente é saudável (2% dos casos). Portanto, podemos expressar P(B)P(B) como a soma das probabilidades de obter um resultado positivo dado que o paciente tem a doença e dado que o paciente é saudável, multiplicado pelas probabilidades de o paciente ter a doença e de o paciente ser saudável, respectivamente.
Vamos calcular P(B):
P(B)=P(B∣A)⋅P(A)+P(B∣¬A)⋅P(¬A)
Onde ¬A representa o complemento do evento A, ou seja, o paciente não tem a doença.
P(B)=0,99⋅1 /1000+0,02⋅999 /1000
P(B)=20,97 /1000
Agora, podemos calcular P(A∣B):
P(A∣B)=0,99⋅1 /1000 /20,97 /1000
P(A∣B)≈0,04714
Portanto, a probabilidade de que o paciente sofra da doença dado que o resultado do teste foi positivo é aproximadamente 0,0471 ou 4,71%.
Conheça nossos planos