Alternativa correta: D - 8 unidades.

Tema central da questão: A questão aborda o comportamento de uma firma em um mercado de concorrência perfeita. Esse tipo de mercado é caracterizado por muitas empresas ofertando um produto homogêneo, onde nenhuma empresa tem poder para influenciar o preço de mercado. O conhecimento sobre custo total (CT) e maximização de lucro é essencial para resolver esta questão.

Resumo teórico: Em um mercado de concorrência perfeita, as empresas são tomadoras de preço. O preço de mercado é dado e igual para todas as firmas. Para maximizar o lucro, a empresa deve produzir a quantidade em que o custo marginal (CMg) é igual ao preço de mercado (P). A função custo total é CT = 10 + 0,25Q², e o preço do bem é $4.

Justificativa da alternativa correta:

• Primeiro, derivamos a função custo total para encontrar o custo marginal: CMg = d(CT)/dQ = d(10 + 0,25Q²)/dQ = 0,5Q.
• Em seguida, igualamos o CMg ao preço, pois, em concorrência perfeita, P = CMg. Então, 0,5Q = 4.
• Resolvendo a equação, Q = 4 / 0,5 = 8 unidades.

Portanto, a quantidade que maximiza o lucro é 8 unidades, justificando a escolha pela alternativa D.

Análise das alternativas incorretas:

• A - 2 unidades: Um CMg de 0,5Q = 2 implica um P de $1, o que está incorreto.
• B - 4 unidades: Se Q fosse 4, então CMg = 0,5 * 4 = 2, inadequado para o preço de $4.
• C - 6 unidades: Com Q = 6, CMg = 0,5 * 6 = 3, ainda diferente do preço de mercado de $4.
• E - 10 unidades: Para Q = 10, CMg = 0,5 * 10 = 5, que excede o preço de $4.

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Resposta D: 8
Custo Marginal é a primeira derivida da Custo Total

No exemplo do exercício: CT = 10 + 0,25q²

1. Utilizo só o 0,25q², já que o 10 não está em função de q
2. Derrubo o 2 que passa a multiplicar todo o componente: 2. 0,25q²
3. Subtraio 1 do expoente, que era 2: 2 - 1 = 1.

Assim, o resultado fica: 2.0,25.q¹
O resultado acima pode ser simplificado para 0,5q (já que toda variável elevada a 1 é igual a ela mesma). Assim, Cmg = 0,5q

Como Cmg = preço e este é igual a 4, a solução é:

0,5q = 4
q = 8

Apenas uma contribuição com fundamentação matemática para o caso:

Maximização do lucro

Lucro = Rt – Ct

Lucro’(q) = Rt’(q) – Ct’(q)

Lucro máximo: Lucro’(q) = 0 (pois no ponto extremo da curva: f’(x) = 0)

0 = Rt’(q) – Ct’(q)

Rt’(q) = Ct’(q)

Rmg = Cmg (regra da maximização em qualquer caso)

Na concorrência perfeita (otimização no curto prazo): como na concorrência perfeita a demanda inversa (p) é constante (infinitamente elástica) (firma price taker), temos que a otimização se dá com Cmg = Rmg = p. Vejamos:

p = k

Rt = p . q

Rt = k . q

Rmg = k

Rmg = p

Ou seja,

p = Cmg (regra de maximização na concorrência perfeita)

Por isso,

Ct = 10 + 0,25q^2

Cmg = 0,5q

p = 4

Rt = 4q

Rmg = 4

Otimização:

Cmg = rmg

0,5q = 4

q = 8

GABARITO: D

Bons estudos!