A escrita correta dos itens erados seria:

I - Eu faltei à aula e não disse o porquê. (porquê representa um substantivo, "o porquê")

III - A professora quer saber por que ele faltou à aula. (por que é para perguntas - diretas ou indiretas. Pode ser substituído por "por qual razão")

Por que = Por qual motivo ?

Por que = Pelo qual, pela qual, pelos quais, pelas quais.

• I. Errada: "Eu faltei à aula e não disse o por quê." Quando a expressão é antecedida por um artigo ("o") ou outro termo determinante, ela passa a funcionar como um substantivo e deve ser escrita junta e com acento: o porquê.
• II. CORRETA: "Por que você não veio à aula ontem?" Está correto. Trata-se de uma pergunta direta no início da frase, equivalendo a "por qual razão" ou "por qual motivo".
• III. Errada: "A professora quer saber porque ele faltou à aula." Trata-se de uma pergunta indireta que equivale a "por qual razão". Nesse caso, deve-se escrever separado e sem acento: por que. (O "porque" junto e sem acento só deve ser usado em respostas ou explicações).
• IV. CORRETA: "Mas... por quê, apesar disso, você não explicou o motivo?" Está correto. O termo aparece isolado antes de uma vírgula devido a uma interrupção na fala, o que equivale a um final de frase ou isolamento enfático, exigindo a escrita separada e com acento (por quê).