letra C

Um sistema de controle é qualquer sistema que toma uma entrada (comando desejado) e reage para gerar uma saída (resultado real). Realimentação (ou feedback) significa que o sistema pega parte da saída e a devolve para a entrada, para comparar com o valor desejado e corrigir erros. Na prática, isso aparece no diagrama com:

• Um somador que compara entrada e saída

• Uma linha de volta da saída para a entrada

Esse tipo de sistema é chamado de sistema realimentado ou malha fechada.

Blocos do sistema

• O bloco direto G(s) é:

G(s) = 16 / (s² + 4s + 16)

• O bloco de realimentação H(s) é:

H(s) = 3 / (s + 3)

Como identificar e interpretar o diagrama

No diagrama, o somador aparece como um círculo com um “+” e um “–”:

   R(s) ⭢ (+) ⭢ [ G(s) ] ⭢ C(s)

               (–)                   ⭣

                ⬑ ⭠ [ H(s) ]  ↲  

• A entrada R(s) está com o sinal positivo (+)

• A saída realimentada C(s) ⋅ H(s) entra com sinal negativo (-)

O somador calcula:

Erro(s) = R(s) − H(s) ⋅ C(s)

Esse resultado é enviado para o bloco G(s). O termo "erro" é usado nesse contexto porque, em sistemas de controle com realimentação, o objetivo do sistema é corrigir a diferença entre o que queremos (entrada) e o que está realmente acontecendo (saída realimentada).

Fórmula da função de transferência com realimentação negativa

Para sistemas com realimentação negativa em malha fechada, usamos a seguinte fórmula:

T(s) = G(s) / (1 + G(s) . H(s))

Substituindo os blocos

Substituímos G(s) e H(s) na fórmula:

T(s) = (16 / (s² + 4s + 16)) / (1 + (16 / (s² + 4s + 16)) . (3 / (s + 3)))

Simplificando

Multiplicamos o numerador e o denominador por (s² + 4s + 16) para eliminar a fração do denominador:

T(s) = 16 / ((s² + 4s + 16) + (48 / (s + 3)))

Agora eliminamos a fração restante multiplicando o numerador e o denominador por (s + 3):

T(s) = (16 . (s + 3)) / ((s² + 4s + 16)(s + 3) + 48)

Aplicar a distributiva de (s² + 4s + 16)(s + 3):

Multiplicar cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo.

Parte 1: s² multiplicado por (s + 3)

⭢ s² . s = s³

⭢ s² . 3 = 3s²

Parte 2: 4s multiplicado por (s + 3)

⭢ 4s . s = 4s²

⭢ 4s . 3 = 12s

Parte 3: 16 multiplicado por (s + 3)

⭢ 16 . s = 16s

⭢ 16 . 3 = 48

Agora juntamos todos os resultados:

s³ + 3s² + 4s² + 12s +16s + 48

Agora somamos os termos semelhantes:

s³ + 7s² + 28s + 48

Depois somamos com o +48 que sobrou:

s³ + 7s² + 28s + 96

Expandindo o numerador:

⭢ 16 . (s + 3)

⭢ 16 . s = 16s

⭢ 16 . 3 = 48

16 . (s + 3) = 16s + 48

Resultado

A função de transferência do sistema é:

T(s) = (16s + 48) / (s³ + 7s² + 28s + 96)

Reescrevendo na forma fatorada conforme o gabarito:

T(s) = 16 . (s + 3) / (s³ + 7s² + 28s + 96)