W² = 49

w = 7

2*psi*w = K

psi = k/14

1 = k / 14

k = 14

letra D

O que é uma função de transferência?

Uma função de transferência H(s) descreve como um sistema dinâmico responde a um sinal de entrada no domínio de Laplace (s). A forma geral para sistemas de segunda ordem (com dois polos, como este da questão) é:

H(s) = ωₙ² / (s² + 2ζωₙs + ωₙ²)

Onde:

• ωₙ (ômega n) = frequência natural do sistema (em rad/s)

• ζ (zeta) = fator de amortecimento (adimensional)

O que é a Frequência Natural (ωn​)?

A frequência natural (ωn​) é um parâmetro muito importante em sistemas dinâmicos (como circuitos elétricos, sistemas mecânicos ou, no caso da questão, um equipamento de instrumentação). Ela representa a frequência em que o sistema "gostaria" de vibrar livremente, se não houvesse amortecimento (resistência, atrito, etc.).

• Unidade: radianos por segundo (rad/s). É uma velocidade angular, não é Hz, que é "ciclos por segundo".

• Símbolo: ωn (lê-se "ômega n" ou "frequência natural").

O que é comportamento criticamente amortecido?

Um sistema de segunda ordem pode ser:

• Subamortecido: Oscila, mas a amplitude diminui com o tempo (ζ < 1)

• Criticamente amortecido: Retorna ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar (ζ = 1)

• Superamortecido: Retorna ao equilíbrio lentamente, sem oscilar (ζ > 1)

A questão diz que o sistema é criticamente amortecido, ou seja: ζ = 1

Comparando com a função dada na questão

A função dada é:

H(s) = 49 / (s² + Ks + 49)

Vamos compará-la com a forma padrão:

H(s) = ωₙ² / (s² + 2ζωₙs + ωₙ²)

Comparando os denominadores:

• s² + Ks + 49

• s² + 2ζωₙs + ωₙ²

Temos:

• ωₙ² = 49 → então ωₙ = √49 = 7

• K = 2ζωₙ

Como ζ = 1 e ωₙ = 7:

K = 2 × 1 × 7 = 14

Resposta final:

K = 14

Recapitulando os pontos-chave

• A questão envolve uma função de transferência de segunda ordem.

• O denominador tem a forma padrão s² + 2ζωₙs + ωₙ².

• O comportamento criticamente amortecido significa ζ = 1.

• Comparando com a função dada, descobrimos ωₙ = 7, e então K = 2×1×7 = 14.

Exemplo prático em um sistema de controle de posição de uma válvula pneumática

Imagine que você trabalha em uma refinaria e precisa controlar a posição de uma válvula pneumática que regula o fluxo de um fluido. Essa válvula é acionada por um sinal de pressão, mas precisa alcançar a posição desejada de forma rápida e sem oscilações, para evitar variações indesejadas no processo. O problema:

• Se o sistema for muito rápido, pode oscilar (abrir demais, depois fechar demais, e assim por diante).

• Se for muito lento, demora para responder, e o processo perde eficiência.

• O ideal: o sistema chega ao valor desejado o mais rápido possível, sem oscilar. Isso é justamente o comportamento criticamente amortecido.