Gabarito Comentado – Probabilidade Binomial

Para determinar a probabilidade de um evento ocorrer exatamente 3 vezes em 5 tentativas, sabendo que a chance de acerto em cada uma é 1/4, utilizamos a Distribuição Binomial, útil para processos com apenas dois resultados possíveis ("acertar" ou "errar"), ensaios independentes e probabilidade constante.

Fórmula Binomial: $P(X=k)=\left(\frac{n!}{k!(n-k)!}\right)p^k{(}^{1-p}{)}^{n-k}$

Identificamos: n = 5 (número de tentativas), k = 3 (sucessos), p = 1/4 (probabilidade de sucesso).

Calculando passo a passo:

Coeficiente binomial: ${(}_5^3)=10$

Probabilidade de sucesso em 3 tentativas: ${\frac{1}{4}}^3=\frac{1}{64}$

Probabilidade de fracasso nas demais tentativas: ${\frac{3}{4}}^2=\frac{9}{16}$

Multiplicando tudo:

$10\times \frac{1}{64}\times \frac{9}{16}=10\times \frac{9}{1024}=\frac{90}{1024}$

Dividindo, obtemos: $\frac{90}{1024}\approx \mathrm{0,0879}$ , ou seja, aproximadamente 8,8%.

Pegadinhas comuns: Cuidado para não usar valores errados para n, k ou p, nem esquecer de elevar cada termo ao expoente correto! Outro erro clássico é esquecer de multiplicar pelo coeficiente binomial, essencial no cálculo.

Portanto, a alternativa correta é C) 8,8%.

Esse tipo de questão é recorrente em provas, então praticação faz diferença! Consulte materiais como Iezzi & Dolce (Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 9) para se aprofundar.

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Número total de possibilidades de ele acertar 3 vezes o alvo:

C(5,3) = 5x4x3 / 3x2 = 10 possibilidades.

Probabilidade acerta uma sequência de 3 acertos:

ACERTA 1, ACERTA 2, ACERTA 3, ERRA 4, ERRA 5

1/4 x 1/4 x 1/4 x 3/4 x 3/4 = 9/1024

Probabilidade para todas as possibilidades: 10 x 9/1024 = 90/1024 = 0.087890625

Aproximandamente 8,8%