Em um sistema de coordenadas cartesianas xOy, os pontos de c...

Alguém sabe explicar essa? Fiz do jeito mais ineficiente...que é achando na mão o valor de "a", "b" e "c",  mas isso em um concurso é perder tempo.
Mas ai eu lembrei de álgebra linear, que diz:

"2) Um sistema com n equações e n variáveis terá uma solução única (chamado de sistema determinado) se, e somente na condição de, que o determinante formado pelos coeficientes do sistema for diferente de zero (≠0)."

Quais são os coeficientes desse sistema? 

(38²)a+(38)b+c=6
(40²)a+(38)b+c=10
(42²)a+(42)b+c=18

são os números que multiplicam "a", "b" e "c" nas equações acima... não tem como demonstrar o determinante desses números aqui porque daria muito trabalho, mas provavelmente será diferente de zero sim. 

Alguém sabe como resolver essa questão?

Não entendi NADA!

Essa questão deve ser resolvida esboçando o gráfico: a variável x (idade) - variável y (filhos com SD). O formato do gráfico gerado representa um arco crescente da parábola. Além disso, o enunciado afirma que a relação não é linear, o que inviabiliza resover por sistemas lineares. Tal informação mais a leitura da tabela corrobora a ideia de crescimento parabólico.

Fiz no "braço" mesmo. Não consegui me lembrar de um método mais eficiente, talvez este seja o único modo.

O jeito é substituir os três pontos (38,6); (40,10) e (42,18) na equação y=ax²+bx+c e encontrar os valores de a, b e c a partir de um sistema linear. Se não houver solução do sistema é porque os pontos não consituem uma parábola. Lembrando que os pontos são da forma (X,Y).

Daí:

[1]: (38,6)  em y=ax²+bx+c -> 6=1444a+38b+c

[2]: (40,10) em y=ax²+bx+c -> 10=1600a+40b+c

[3]: (42,18) em y=ax²+bx+c -> 18=1764a+42b+c

Um jeito que eu particulamente gosto de resolver é subtrair uma equação da outra (matematicamente o correto seria multiplicar uma por -1 e somar as duas). Fazendo esta operação com as equações [1] e [2] temos: [2] - [1] => 4=156a+2b ; daí b=2-78a [4].

Da mesma forma para as equações [3] e [2] temos: [3] - [2] => 8=164a+2b ; daí b=4-82a [5].

Agora fica mais fácil achar o valor do coeficiente "a" a partir das novas equações [4] e [5] simplesmente igualando-as. Chega-se que a=1/2 . Com isso, substiuindo em [4] ou [5] tem-se que b=-37.

Substituem-se os valores de "a" e "b" em qualquer das equações [1], [2] e [3]. Se os valores de "c" (c=690) encontrados nas 3 equações forem iguais, então os pontos satisfazem a equação de segundo grau formando uma parábola, como diz a questão.

Caso os valores fossem divergentes então os 3 pontos não seriam parte de uma parábola, formando 2 retas distintas a partir de 2 equações do primeiro grau da forma y=ax+b (com um dos pontos sendo um ponto de intersecção das retas), obviamente com diferentes valores para os coeficientes a e b.

Imaginem isso sendo o plano cartesiano. não deu pra fazer melhor.

            18|_________
            10|_______   |
             6|____      |  |
               |       |     |  |
  -------------------------------X
               |   38  40 42 
               |
               |
               |
              Y

Gente, eu fiz por sistema linear a princípio mas um jeito mais rápido de fazer seria pensar que os valores da tabela estão de forma crescente tanto em X quanto em Y, se eu conseguisse achar alguma explicação para esses valores começarem a decrescer então seria uma parábola. Aí pensei que já que quanto mais velha uma mulher maior será probabilidade de ter um filho com SD, mas chegará um momento em que ela não poderá ter filho nenhum, logo o gráfico iria decrescer pois o número de filhos com SD ou não iria diminuir. Logo, o gráfico cresce e decresce formando uma possível parábola.

(x, y): (38, 6), (40, 10) e (42, 18)

______________________________________________________

38   6   1  | 38   6

40  10   1  | 40  10

42  18   1  | 42  18

 

Achar o determinante da matriz:

Determinante: 380 + 252 + 720 - 420 - 684 - 240 = 8

 

Se o determinante for igual a zero, então os três pontos estarão alinhados (São colineares), ou seja, formam uma Reta, eq do 1º grau.

 

Se o determinante for diferente de zero, teremos três pontos não alinhados (Não colineares), logo teremos um triângulo se ligarmos os pontos com retas ou uma Parábola se traçarmos uma curva entre os três pontos (Quaisquer três pontos não colineares podem ser colocados sobre uma parábola), eq do 2º grau.

 

 

8 ≠ 0, logo os valores estão sobre o gráfico de uma parábola (y = ax² + bx + c)

 

GABARITO CERTO

 

 

OBS: Para quem não sabe encontrar o determinante de uma matriz 3x3: https://www.youtube.com/watch?v=6tDQPDoNK40