Sejam X1,X2,...,Xn variáveis aleatórias independentes, todas...

Dado que todas tem a mesma média μ e variâncias idênticas a σ2.

Temos uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com média  e variância

teremos uma distribuição normal padrão limite:

 √n [X - μ / σ]

Resumidamente, podemos enunciar o teorema do limite central (TLC) converge em distribuição para a distribuição normal padrão N(0,1)

√n [X - μ / σ] -> N (0,1)

fonte: wikipedia

Temos um exercício sobre aplicações do Teorema do Limite Central (TLC). Vamos aos itens:

a)  do somatório∑Xi converge para uma normal N(n.μ,nσ^2)

CORRETO: O resultado seria uma aplicação imediata do TLC.  

b)  da variável (X¯−μ / σ), para n grande, é aproximadamente N(0,1);

ERRADO:  Na verdade, é a variável  (X¯−μ) / σ / √n que se aproxima-se de uma distribuição normal padrão.

c) da variável ∑(xi−μ /σ)^2

ERRADO: A variável ∑(xi−μ / σ)^2 converge para uma distribuição χ2 se X1,X2,...Xn forem variáveis aleatórias independentes com distribuição normal.

d) da variável √n(X¯−μ / σ) converge para uma distribuição N(0,1)..

CORRETO: Como visto no item (b)

e)  da razão Xn/X1

converge em probabilidade para uma Cauchy.

ERRADO: Mais um item delicado. Tal convergência ocorrerá se X1,...Xn forem variáveis aleatórias independentes com distribuição normal.

GABARITO: Letra D

GABARITO TEC: Anulada.