A questão quer saber se existe algum número inteiro positivo (como 1, 2, 3, 4, 5...) que faça essa conta dar certo.

A conta é:

Em vez de fazer contas gigantes, vamos só testar os números inteiros positivos para ver o que acontece!

Vamos testar os números de 1 em 1?

1. Podemos testar x = 3?

Se colocarmos x = 3 na conta:

* O lado esquerdo fica: \frac{2}{(3-5)(3+3)} = \frac{2}{(-2)(6)} = \frac{2}{-12} = -0,16

* O lado direito fica: \frac{2}{(3+3)(3-4)} = \frac{2}{(6)(-1)} = \frac{2}{-6} = -0,33

Comparando: -0,16 \le -0,33 ?

Falso! (Nos números negativos, -0,16 é maior que -0,33). Então x = 3 não serve.

2. E os números x = 4, x = 5 ou x = -3?

Olhe para a parte de baixo das frações:

* Se x = 4, a parte (x - 4) vira 4 - 4 = 0. Não existe divisão por zero!

* Se x = 5, a parte (x - 5) vira 5 - 5 = 0. Divisão por zero!

Por isso, 4 e 5 estão proibidos.

3. E se testarmos um número bem grande, como x = 6?

* Lado esquerdo: \frac{2}{(6-5)(6+3)} = \frac{2}{(1)(9)} = \frac{2}{9} = +0,22

* Lado direito: \frac{2}{(6+3)(6-4)} = \frac{2}{(9)(2)} = \frac{2}{18} = +0,11

Comparando: +0,22 \le +0,11 ?

Falso! 0,22 é maior que 0,11. Então x = 6 (e qualquer número maior que 6) também não serve.

Resumo do teste:

* x = 1, 2, 3: A conta fica falsa.

* x = 4 e x = 5: Dá erro de matemática (divisão por zero).

* x = 6, 7, 8...: A conta fica falsa.

Resultado: Nenhum número inteiro positivo funciona!

Por isso a resposta é 0 (zero valores inteiros positivos).

A alternativa correta é a A (0).

Justificativa

Dada a inequação:

$$\frac{2}{(x-5)(x+3)} \leq \frac{2}{(x+3)(x-4)}$$

1. Condições de Existência (Domínio):

   Os denominadores não podem ser nulos, logo:

   • $x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

   • $x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

   • $x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$

2. Rearranjando a Inequação:

   Passamos o termo da direita para a esquerda:

   $$\frac{2}{(x-5)(x+3)} - \frac{2}{(x+3)(x-4)} \leq 0$$

3. Colocando no mesmo denominador (MMC):

   O MMC dos denominadores é $(x-5)(x+3)(x-4)$. Colocando em evidência o termo comum $\frac{2}{x+3}$:

   $$\frac{2}{x+3} \left( \frac{1}{x-5} - \frac{1}{x-4} \right) \leq 0$$

   $$\frac{2}{x+3} \left( \frac{(x-4) - (x-5)}{(x-5)(x-4)} \right) \leq 0$$

   $$\frac{2}{x+3} \left( \frac{1}{(x-5)(x-4)} \right) \leq 0$$

   $$\frac{2}{(x-5)(x-4)(x+3)} \leq 0$$

4. Estudo dos Sinais (Método dos Intervalos):

   As raízes do numerador e dos fatores do denominador são:

   • $x = -3$

   • $x = 4$

   • $x = 5$

   Analisando o sinal da expressão $\frac{2}{(x-5)(x-4)(x+3)}$ nos intervalos determinados pelas raízes:

   • Para $x < -3$: a expressão é negativa ($\leq 0$) — Válido.

   • Para $-3 < x < 4$: a expressão é positiva ($> 0$) — Inválido.

   • Para $4 < x < 5$: a expressão é negativa ($\leq 0$) — Válido.

   • Para $x > 5$: a expressão é positiva ($> 0$) — Inválido.

   Portanto, o conjunto solução da inequação é:

   $$S = (-\infty, -3) \cup (4, 5)$$

5. Quantidade de valores inteiros positivos:

   • Olhando para o intervalo $(-\infty, -3)$, temos apenas números negativos.

   • Olhando para o intervalo $(4, 5)$, não há nenhum número inteiro estritamente entre $4$ e $5$.

   Consequentemente, não há nenhum valor inteiro positivo pertencente ao conjunto solução ($S$). A quantidade é 0.

Resumo do Assunto para Estudo Posterior

O tema abordado trata de Inequações Algébricas FrACIONÁRIAS. A resolução exige atenção rigorosa às condições de existência (restringindo o domínio para evitar divisões por zero), seguida de simplificação algébrica (uso de fatoração ou MMC) e estudo de sinal por meio da reta real (varal de sinais) dos fatores do numerador e do denominador. É um clássico de concursos que testa o cuidado com os pontos de restrição e intervalos abertos/fechados.

Distrator da Banca

Os principais distratores em questões desse tipo costumam induzir o candidato ao erro de simplificar termos cruzados sem atentar-se às restrições do denominador ou a considerar erroneamente os extremos dos intervalos como valores inclusos, fazendo com que o candidato aponte incorretamente que existe 1 ou mais valores inteiros.