Tema central: Contagem de divisores positivos por meio da fatoração em primos e da fórmula do número de divisores. Na prática, é como um raciocínio clínico estruturado: decompomos o “quadro” (o número) em componentes fundamentais (primos) e, a partir deles, concluímos com segurança.

Resposta correta: A — 12

Justificativa completa:

• Fatore o número: 90 = 2 × 3² × 5.
• Se n = p^a q^b r^c…, então o número de divisores positivos é (a+1)(b+1)(c+1)… (consequência do Teorema Fundamental da Aritmética).
• Aplicando: (1+1)(2+1)(1+1) = 2 × 3 × 2 = 12.
• Checagem por enumeração: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90 → 12 divisores.

Por que as demais estão incorretas:

• B — 9: costuma surgir ao esquecer de somar 1 aos expoentes (por exemplo, usar 1×2×1=2 em vez de 2×3×2=12) ou por contagem manual incompleta.
• C — 17: impossível com a fatoração dada; 17 é primo, o que exigiria n ser potência de um primo a¹⁶, o que não é o caso.
• D — 6: erro típico de multiplicar os expoentes diretamente (1×2×1=2) e depois dobrar, ou confundir com quantidade de primos distintos (3) e fazer 2×3=6.
• E — 14: número par não compatível com (1+1)(2+1)(1+1)=12; para 14, precisaríamos de uma decomposição cujos fatores resultassem em 14 (por exemplo, 7×2), o que não ocorre aqui.

Estratégias de prova e pegadinhas:

• Sempre some 1 a cada expoente antes de multiplicar.
• Não confunda “número de divisores” com “soma dos divisores”.
• Confirme a fatoração: 90 = 9×10 = (3²)×(2×5).
• Faça uma checagem rápida listando alguns divisores para validar o resultado.

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