Alternativa correta: C

1. Tema central da questão:
A questão aborda probabilidades em distribuições binomiais e binomial negativa, temas essenciais em Estatística Descritiva para análise de dados envolvendo eventos dicotômicos (sucesso/fracasso).

2. Resumo teórico:
Em processos onde há repetições independentes de experimentos com dois resultados possíveis (ex: peça perfeita ou defeituosa), usamos a distribuição binomial para calcular a probabilidade de se obter um certo número de sucessos (ou fracassos) em um número fixo de tentativas. Quando o objetivo é contar quantas tentativas são necessárias até o r-ésimo sucesso, utiliza-se a binomial negativa (ou Pascal).

3. Justificativa da alternativa C (correta):
Vamos calcular a probabilidade de, em 5 peças, termos no máximo 2 defeituosas (ou seja, até 2 defeituosas: 0, 1 ou 2).

Denotando:
- Probabilidade de defeituosa: p = 0,3
- Probabilidade de perfeita: q = 0,7

Como se trata de uma binomial (n=5, p=0,3), somamos as probabilidades:

P(X ≤ 2) = P(0 defeitos) + P(1 defeito) + P(2 defeitos)
= C(5,0)·(0,3)⁰·(0,7)⁵ + C(5,1)·(0,3)¹·(0,7)⁴ + C(5,2)·(0,3)²·(0,7)³
Com valores aproximados:
= 1×1×0,17 + 5×0,3×0,24 + 10×0,09×0,343
= 0,17 + 0,36 + ~0,31 = ~0,84 (84%)

Portanto, é correto afirmar que essa probabilidade é maior que 70%.

4. Análise das alternativas incorretas:

A. O número esperado de defeituosas em 400 peças é 0,3×400 = 120 (não 150).

B. Em 10 peças, a probabilidade de exatamente 8 perfeitas é:
C(10,8)·(0,7)⁸·(0,3)² ≈ 45·0,06·0,09 ≈ 0,24 (24%, maior que 10%).

D. A distribuição geométrica correta seria: P(X=k)=0,7^k-1·0,3, pois produz até a primeira defeituosa (não como informado).

E. Para a segunda peça perfeita, X segue uma binomial negativa, mas a expressão correta é:
P(X=k) = C(k-1,1)·(0,7)²·(0,3)^k-2 (não como proposto).

5. Estratégia de interpretação:
Fique atento ao que é pedido (“no máximo 2 defeituosas” = 0, 1 ou 2). Use sempre os valores aproximados fornecidos. Desconfie de alternativas com cálculos fáceis de verificar.

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Para resolver essa questão, precisamos analisar cada alternativa utilizando os conceitos de Probabilidade Binomial, Esperança Matemática e Distribuições de Variáveis Aleatórias.

Dados principais:

• Probabilidade de peça perfeita (p): 0,7
• Probabilidade de peça defeituosa (q): 0,3
• Valores aproximados fornecidos: 0,78
• ≈0,06; 0,75
• ≈0,17; 0,74
• ≈0,24.

A) Na produção de 400 itens, o número esperado de peças defeituosas é de 150. O número esperado (E[X]) em uma distribuição binomial é dado por n×q.

E[X]=400×0,3=120

Incorreta.

B) A probabilidade de uma amostra de 10 peças conter exatamente 8 perfeitas é menor que 10%. Usamos a fórmula da Binomial:

• Incorreta. 24,3% é maior que 10%.

C) A probabilidade de 5 peças conterem, no máximo, 2 defeituosas é maior que 70%. "No máximo 2 defeituosas" é o mesmo que "3, 4 ou 5 perfeitas".

• P(X≥3)=P(3)+P(4)+P(5)

Correta. 83,8% é maior que 70%.

d) Esta é uma Distribuição Geométrica. A fórmula correta para o sucesso (defeito) na tentativa x é:

Incorreta. A alternativa inverteu as probabilidades de p e q.

E) Se X é o número de peças até a segunda perfeita, X segue uma distribuição de Pascal. A distribuição de Pascal (Binomial Negativa) calcula a probabilidade do k-ésimo sucesso ocorrer na tentativa x. Para a segunda peça perfeita (k=2) ser encontrada na tentativa x:

Incorreta. A estrutura apresentada na alternativa (omitida no texto mas comum nesse tipo de questão) geralmente falha na combinação ou nos expoentes.