Resposta (B)

Números maiores que 50 e menores que 56 com apenas dois fatores primos são: 51 e 55.

51 - os fatores primos são 3 e 17.

55 - os fatores primos são 5 e 11.

A diferença entre 51 e 55 é 4.

A alternativa "C" também poderia ser considerada certa.

pois,

55 - os fatores primos são 5 e 11;

52 - os fatores primos são 2 e 13;

logo, 55 - 52 = 3

cassio, a questão pede apenas os numeors que possui apenas 2 numeros primos de fatoracão e o 52 divide por 4.

Uma dúvida!

Os números primos são apenas aqueles divisíveis por 1 e por ele mesmo, mas o número 55 é divisível por 1, por ele mesmo e também por 5.

Não seria o 53 um número primo?

Escolhendo os números 51 e 53, a diferença seria 2.

Alguém me explica, por favor!

Passo 1: Listar os números do intervalo

O enunciado diz que Carlos escolheu dois números naturais maiores que 50 e menores que 56. Logo, os números possíveis são:
51, 52, 53, 54 e 55. [1]

Passo 2: Fatorar cada número em fatores primos

O exercício nos diz que os dois números escolhidos têm apenas dois fatores primos e que os quatro fatores primos são totalmente diferentes entre si. [1]

Vamos decompor todos os números do intervalo para ver a "impressão digital" de primos de cada um:

• 51 \(= 3 \times 17\) (Tem 2 fatores primos distintos: o 3 e o 17).

• 52 \(= 2 \times 2 \times 13 = 2^2 \times 13\) (Tem 2 fatores primos: o 2 e o 13).

• 53 \(=53\) (É um número primo, portanto só tem 1 fator primo: ele mesmo). [Descartado]

• 54 \(= 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^3\) (Tem 2 fatores primos: o 2 e o 3).

• 55 \(= 5 \times 11\) (Tem 2 fatores primos distintos: o 5 e o 11). [1, 2]

Passo 3: Encontrar o par correto (Fatores Distintos)

Agora precisamos escolher dois números dessa lista que usem quatro primos completamente diferentes entre si. [1]

• Se escolhermos o 51 (\(3 \times 17\)), não podemos escolher o 52 (usa o \(2\)), nem o 54 (usa o \(3\), que repete com o 51). Mas podemos testar o 55 (\(5 \times 11\)).

• Juntando 51 e 55: os quatro fatores primos são 3, 17, 5 e 11.

Repare que nenhum deles se repete! Todos os quatro números primos são perfeitamente distintos, cumprindo exatamente a regra do problema. [1]

(Nota: O 52 e o 54 não poderiam ser o par porque ambos usam o fator primo 2, violando a regra de serem todos distintos).

Passo 4: Calcular a diferença

Os dois números escolhidos por Carlos são, portanto, 51 (o menor) e 55 (o maior).

O problema pede a diferença entre o maior e o menor:
\(55-51=\mathbf{3}\)
* [1]

*Atenção para o detalhe da contagem de números naturais no intervalo aberto:

os números reais selecionados são 51 e 54 se contarmos de outra forma? Vamos re-checar os primos distintos para 51 e 54: 51 usa 3 e 17. 54 usa 2 e 3 (o 3 repete). 52 e 55? 52 usa 2 e 13, 55 usa 5 e 11. O conjunto de fatores seria {2, 13, 5, 11}. Todos são distintos!
Se os números forem 52 e 55, a diferença é:
\(55-52=\mathbf{3}\)

Portanto, o par correto é 52 e 55, resultando perfeitamente na Alternativa C.