Gabarito Comentado:

Para resolver quantos anagramas distintos podem ser formados com a palavra MATA, aplicamos o conceito de Permutação com Repetição da Análise Combinatória, pois há letras repetidas.

Definição: A permutação com repetição é utilizada quando queremos contar o número de maneiras de ordenar n elementos, em que alguns se repetem.

A fórmula para esse cálculo é:
$P(n;a,b,\mathrm{...})=\frac{n!}{a!\times b!\times ...}$

No caso de MATA:
Total de letras (n): 4
Repetições: "A" aparece 2 vezes, "M" e "T" 1 vez cada.

Aplicando a fórmula:
$P(4;2)=\frac{4!}{2!}=\frac{24}{2}=12$

Portanto, existem 12 anagramas distintos dessa palavra.

Análise das alternativas:

A) 12 – Correta. Resultado do cálculo correto, considerando duplicidade da letra A.
B) 6 – Incorreta; poderia indicar confusão na aplicação da fórmula.
C) 24 – Incorreta; corresponde a permutação simples de 4 elementos distintos ($4!=24$), sem tratar as repetições.
D) 8 e E) 36 – Incorretas; não se enquadram em nenhum cálculo para permutação nesta situação.

Pegadinha clássica: Muitos candidatos esquecem de considerar as repetições, marcando o resultado da permutação simples. Fique sempre atento à repetição de letras ou elementos ao calcular anagramas!

Referências: As principais obras de Análise Combinatória para concursos (“Análise Combinatória e Probabilidade” de Maria de Nazaré Carvalho Bezerra, “Matemática: Contexto e Aplicações” de Gelson Iezzi e outros) tratam o tema usando exatamente esta abordagem e fórmula.

Resumo Final: Para anagramas com elementos repetidos, utilize permutação com repetição. O resultado correto neste caso é a alternativa A) 12.

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MATA = 4!

REPETE 2!

4!/2! = 24/2 = 12

GAB: A

MATA --- SÃO 4 LETRAS DENTRE ELAS 2 SÃO REPETIDAS LOGO:

• 4!/2!
• 4x3x2x1/2x1
• = 12

GAB - A