Comentário do Gabarito:

Para resolver a equação trigonométrica $\sin \left(2\theta \right)=\cos \left(\theta \right)$ no intervalo $(0,\pi )$, o caminho mais eficiente e seguro é aplicar as identidades trigonométricas fundamentais.

Passo 1: Aplicar identidade do seno do ângulo duplo.

A identidade é $\sin \left(2\theta \right)=2\sin \left(\theta \right)\cos \left(\theta \right)$. Substituindo na equação:

$2\sin \left(\theta \right)\cos \left(\theta \right)=\cos \left(\theta \right)$

Passo 2: Reorganizar e fatorar.

Leve tudo para um lado:

$2\sin \left(\theta \right)\cos \left(\theta \right)-\cos \left(\theta \right)=0$

Fatorando $\cos \left(\theta \right)$:

$\cos \left(\theta \right)\left(2\sin \right(\theta )-1)=0$

Logo, temos dois casos:

1) $\cos \left(\theta \right)=0$   2) $2\sin \left(\theta \right)-1=0$

Passo 3: Resolver cada caso e conferir restrições.

a) $\cos \left(\theta \right)=0$ → $\theta =\frac{\pi }{2}$ (no intervalo $(0,\pi )$)

b) $\sin \left(\theta \right)=\frac{1}{2}$ → $\theta =\frac{\pi }{6}$ e $\theta =\frac{5}{\pi }6$ (pois seno positivo no 1º e 2º quadrantes).

Resumindo:

Soluções em (0, π): $\theta =\frac{\pi }{6}$, $\theta =\frac{\pi }{2}$ e $\theta =\frac{5}{\pi }6$.

Análise dos Distratores:

Alternativas com valores como $\frac{\pi }{4}$ ou