Comentário do Gabarito:

Para resolver domínio de (g ∘ f)(x), usamos os conceitos fundamentais de domínio e composição de funções:

1. Domínio de uma função: É o conjunto dos valores de entrada para os quais a função está definida. Por exemplo, para uma raiz quadrada, apenas números reais não-negativos são admitidos no radicando.

2. Composição (g ∘ f)(x): Só faz sentido onde f(x) está definida e f(x) pertence ao domínio de g. Por definição, "A composição g ∘ f está definida apenas quando f(x) é elemento do domínio de g"" (cf. Iezzi, "Fundamentos de Matemática Elementar").

Aplicação ao exercício:

a) f(x) = $\sqrt{x-1}$ existe para $x\ge 1$. Logo, domínio de f: $[1,+\backslash infty)$.

b) g(x) = $\ln (3-x)$ só existe se $3-x>0$ → $x<3$.

Na composição, f(x) deve estar no domínio de g: 3 - f(x) > 0. Mas $f\left(x\right)=\sqrt{x-1}$:

$3-\sqrt{x-1}>0$ → $\sqrt{x-1}<3$ → $x-1<9$ → $x<10$

Resumo das condições:
 • $x\ge 1$ e $x<10$.

Logo, o domínio de (g ∘ f)(x) é $[1,10)$.

Análise de alternativas:
- [0,9): inclui $\mathrm{x<1}$, onde f(x) não existe.
- [1,9]: exclui valores acima de 9 que atendem às restrições.
- [1,10): correta!
- (1,10): exclui $\mathrm{x=1}$, onde f(x) existe.
- (−∞,3): inclui valores negativos, proibidos pela raiz.

Estratégia para provas: Sempre:

• Verifique todas as condições de existência (raiz, logaritmo...)
• Lembre de INTERSECIONAR os domínios das funções na composição
• Confira se os extremos dos intervalos realmente pertencem ao domínio!

Gabarito: [1, 10) (alternativa C).

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