Comentário do Gabarito:

1. Interpretação e Legislação Aplicável
A questão versa sobre efeito suspensivo a Recurso Extraordinário, com base nas regras do CPC/2015, especialmente art. 1.029, §5º:

Código de Processo Civil, art. 1.029, §5º: "O pedido de concessão de efeito suspensivo a recurso extraordinário ou a recurso especial poderá ser formulado por requerimento dirigido ao presidente ou ao vice-presidente do tribunal recorrido..."

2. Tema Central e Conhecimentos Relevantes
O tema exige domínio dos recursos excepcionais (RE e REsp) e de quem decide sobre pedidos de efeito suspensivo nesses recursos. Importante saber a diferença entre tribunal recorrido (tribunal de origem/STJ, nesse caso) e tribunal superior (STF/STJ como tribunais de cúpula).

3. Exemplo Prático
Suponha que o TJCE julgue apelação e o Município, vencido, proponha RE ao STF. Enquanto o RE não sobe (há sobrestamento, por repercussão geral), o Município pode requerer efeito suspensivo diretamente ao presidente ou vice-presidente do TJCE (tribunal recorrido).

4. Justificativa da Alternativa Correta - C
Como o STJ é o tribunal recorrido em REs para o STF, o pedido deve ser feito ao vice-presidente do tribunal recorrido, conforme expressamente prevê o art. 1.029, §5º, do CPC.
Jurisprudência: STF (QO na AC 2.177) e STJ (AgRg no RE no Ag 890.875) confirmam esse procedimento, vedando inclusive recursos internos contra essa decisão.

5. Análise das Alternativas Incorretas

A – Errada. Cabe sim pedido de efeito suspensivo, previsto em lei.
B – Errada. O requerimento é dirigido ao presidente ou vice-presidente do tribunal recorrido, não ao presidente do tribunal superior.
D – Errada. Não há distribuição nem designação de relator; o pedido é decidido pelo presidente ou vice-presidente do tribunal recorrido.
E – Errada. Segue erro semelhante ao da alternativa "B"; não cabe ao tribunal superior a apreciação inicial do efeito suspensivo.

Pegadinhas: Atenção para não confundir o tribunal recorrido (de onde o recurso partiu) com o tribunal superior (destino do recurso). A lei é clara ao definir a competência do presidente ou vice-presidente do tribunal recorrido.

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RE no STJ.....esquece a questão e vai

Neste caso, quando da interposição ao juízo a quo, o Vice-Presidente ainda não realizou o juízo de admissibilidade (art. 1030, V do CPC), mas sim sobrestou o recurso (art. 1030, III do CPC).

Logo, trata-se da hipótese prevista no art. 1029, §5º, III do CPC que disciplina ser formulado o pedido de concessão de efeito suspensivo ao próprio presidente ou vice quando o recurso tiver no período compreendido entre sua interposição e a publicação da admissão.

Art. 1.029, §5º, do CPC.

§ 5º O pedido de concessão de efeito suspensivo a recurso extraordinário ou a recurso especial poderá ser formulado por requerimento dirigido:

I – ao tribunal superior respectivo, no período compreendido entre a publicação da decisão de admissão do recurso e sua distribuição, ficando o relator designado para seu exame prevento para julgá-lo;             

II - ao relator, se já distribuído o recurso;

III – ao presidente ou ao vice-presidente do tribunal recorrido, no período compreendido entre a interposição do recurso e a publicação da decisão de admissão do recurso, assim como no caso de o recurso ter sido sobrestado, nos termos do art. 1.037.             

Art. 1.029, §5º, do CPC.

§ 5º O pedido de concessão de efeito suspensivo a recurso extraordinário ou a recurso especial poderá ser formulado por requerimento dirigido:

I – ao tribunal superior respectivo, no período compreendido entre a publicação da decisão de admissão do recurso e sua distribuição, ficando o relator designado para seu exame prevento para julgá-lo;             

II - ao relator, se já distribuído o recurso;

III – ao presidente ou ao vice-presidente do tribunal recorrido, no período compreendido entre a interposição do recurso e a publicação da decisão de admissão do recurso, assim como no caso de o recurso ter sido sobrestado, nos termos do art. 1.037.   

código civil vigente ?