Considere um cilindro oco de volume V. A razão entre a área ...
Considere um cilindro oco de volume V. A razão entre a área da base e a área da superfície lateral, de modo que a quantidade de material usado para produzi-lo seja o mínimo possível, é
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Quanto menor a superfície lateral menor o volume, quando a base é grande são geradas apenas duas superfícies grandes, já quando a base é pequena e a altura é grande o volume tende a ser maior
Esse foi meu raciocínio ; )
Trabalhei com a hipótese de que o cilindro é equilátero para resolver essa questão.
Logo, a altura (H) é igual a 2 vezes o raio (R) --> H=2R.
- AB = Área da Base --> AB= πR²
- AL = Área Lateral --> AL= 2πRH
De posse dessas informações, segui o seguinte raciocínio:
AB/AL = πR²/ 2πRH
Corta π com π, R² com R e fica assim:
R/2H
Sabemos que altura (H) = 2 vezes o raio (R). Logo:
R/2(2R)
R/4R --> 1/4
OBS: Caso alguém discorde do raciocínio, estou à disposição para corrigir.
O volume V do cilindro é dado por:
V = \pi r² h
Isolando h:
h = V / (\pi r²) (eq. I)
Além disso, a área total do cilindro é:
A = 2\pi r² + 2\pi rh
Substituindo h = V / (\pi r²) na equação anterior, obtemos:
A = 2\pi r² + 2\pi r V / (\pi r²)
A = 2\pi r² + 2V / r
Derivando a equação anterior:
A'(r) = 4\pi r - 2V / r²
Igualando A'(r) a zero para determinarmos o valor de r que torna a área mínima:
4\pi r - 2V / r² = 0
4\pi r = 2V / r²
V = 2\pi r³
Substituindo esse valor na equação I:
h = 2\pi r³ / (\pi r³)
h = 2r
Ou seja, a área A será mínima quando h = 2r.
Fazendo a razãó entre a área da base e a área lateral, temos:
Ab / Al = \pi r² / (2\pi r h)
Substituindo h = 2r:
Ab / Al = \pi r² / (2\pi r 2r)
Ab / Al = r² / (4r²)
Ab / Al = 1/4
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