Considere um cilindro oco de volume V. A razão entre a área ...

Quanto menor a superfície lateral menor o volume, quando a base é grande são geradas apenas duas superfícies grandes, já quando a base é pequena e a altura é grande o volume tende a ser maior

Esse foi meu raciocínio ; )

Trabalhei com a hipótese de que o cilindro é equilátero para resolver essa questão.

Logo, a altura (H) é igual a 2 vezes o raio (R) --> H=2R.

• AB = Área da Base --> AB= πR²
• AL = Área Lateral --> AL= 2πRH

De posse dessas informações, segui o seguinte raciocínio:

AB/AL = πR²/ 2πRH

Corta π com π, R² com R e fica assim:

R/2H

Sabemos que altura (H) = 2 vezes o raio (R). Logo:

R/2(2R)

R/4R --> 1/4

OBS: Caso alguém discorde do raciocínio, estou à disposição para corrigir.

O volume V do cilindro é dado por:

V = \pi r² h

Isolando h:

h = V / (\pi r²) (eq. I)

Além disso, a área total do cilindro é:

A = 2\pi r² + 2\pi rh

Substituindo h = V / (\pi r²) na equação anterior, obtemos:

A = 2\pi r² + 2\pi r V / (\pi r²)

A = 2\pi r² + 2V / r

Derivando a equação anterior:

A'(r) = 4\pi r - 2V / r²

Igualando A'(r) a zero para determinarmos o valor de r que torna a área mínima:

4\pi r - 2V / r² = 0

4\pi r = 2V / r²

V = 2\pi r³

Substituindo esse valor na equação I:

h = 2\pi r³ / (\pi r³)

h = 2r

Ou seja, a área A será mínima quando h = 2r.

Fazendo a razãó entre a área da base e a área lateral, temos:

Ab / Al = \pi r² / (2\pi r h)

Substituindo h = 2r:

Ab / Al = \pi r² / (2\pi r 2r)

Ab / Al = r² / (4r²)

Ab / Al = 1/4