Vamos analisar a questão fornecida, que aborda um problema de contagem e combinatória. A alternativa correta é C (certo).

Para resolver essa questão, é necessário aplicar conceitos de arranjos. A pergunta pede para calcular a quantidade de diretorias que podem ser formadas sem que Pedro seja o síndico.

Temos um total de 10 pessoas, incluindo Pedro. Precisamos escolher 4 posições diferentes: síndico, subsíndico, secretário e tesoureiro. O cálculo necessário é de arranjos de 10 elementos tomados 4 a 4 (A(10, 4)).

O arranjo é dado pela fórmula:

A(n, p) = n! / (n - p)!

onde n é o número total de elementos e p é a quantidade de posições a serem preenchidas.

Para o cálculo total, temos:

A(10, 4) = 10! / (10 - 4)! = 10! / 6! = (10 * 9 * 8 * 7 * 6!) / 6! = 10 * 9 * 8 * 7 = 5040

Agora, vamos calcular a quantidade de diretorias em que Pedro não é o síndico. Se Pedro não for o síndico, restam 9 pessoas para escolher o síndico. Para as restantes 3 posições (subsíndico, secretário e tesoureiro), Pedro pode ser escolhido. Então, o cálculo é A(9, 3):

A(9, 3) = 9! / (9 - 3)! = 9! / 6! = (9 * 8 * 7 * 6!) / 6! = 9 * 8 * 7 = 504

Para cada uma dessas 9 possibilidades (síndico), temos que escolher as outras 3 posições de 9 pessoas:

Total = 9 * A(9, 3) = 9 * 504 = 4536

Portanto, a quantidade de diretorias possíveis sem que Pedro seja o síndico é 4536, que é, de fato, superior a 4500.

Justificativa da Alternativa Correta: A alternativa C (certo) está correta porque a quantidade de diretorias formadas sem Pedro como síndico é 4536, que é maior que 4500.

Justificativa das Alternativas Incorretas: Não há outras alternativas apresentadas na questão, mas se houvesse, qualquer valor menor ou igual a 4500 seria incorreto.

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