Se M = min {X1,…,Xn }, então P(M > 1) = e-5n .
Uma amostra aleatória simples de tamanho n é retirada de uma distribuição exponencial X com a função de densidade de probabilidade representada a seguir.
Representando essa amostra aleatória simples como X1,…, Xn , julgue o item subsequente.
Para encontrarmos o valor de P(M>1), precisamos primeiramente identificar a função acumulada da variável M. Por definição, temos que
F(m)=P(M≤m)=P(min{X1,⋯,Xn})≤m)
Aqui procedemos através da probabilidade complementar:
=1−P(min{X1,⋯,Xn})>m)
Queremos então a probabilidade de que o menor valor amostral seja maior que m. Ora, se o mínimo da amostra é maior que certo valor m, decorre que todos os valores amostrados serão também maiores que m. E dada a independência das observações, nossa expressão ficará assim:
=1−[P(X1>m)×P(X2>m)×⋯×P(Xn>m)]
Fx = P(X≤x) = função acumulada P(X≤x)=1−e^−5x
Consequentemente, P(X>x)=1−(1−e^−5x)=e^−5x. Voltando à nossa expressão:
P(M>1)=e^−5n
Gabarito: CERTO.