A variável aleatória D = e-5x segue distribuição uniforme ...
Uma amostra aleatória simples de tamanho n é retirada de uma distribuição exponencial X com a função de densidade de probabilidade representada a seguir.
Representando essa amostra aleatória simples como X1,…, Xn , julgue o item subsequente.
Para identificarmos a distribuição da variável D=e−5X, precisamos recorrer à definição da função acumulada:
FD(x)=P(D≤x)=P(e−5X≤x)
Extraindo o logaritmo natural dos dois lados da inequação:
=P(X≥−lnx/5)
Como nossa X segue distribuição exponencial com função densidade
Mas utilizando a probabilidade complementar: P(X≥x)=1−(1−e−5x)=e−5x. Agora resolvemos o passo anterior:
P(x≥−lnx5) =e−5(−lnx/5)=e^lnx=x
Ou seja, a função acumulada da variável aleatória D é:
P(D≤x)=x
Essa é justamente a função acumulada da distribuição uniforme no intervalo [0,1].
Gabarito: CERTO.
A distribuição uniforme contínua e a distribuição exponencial são duas distribuições de probabilidade distintas, mas podem estar relacionadas em alguns contextos, especialmente quando se trata de processos estocásticos e teoria das filas.
Relação:
- Se considerarmos o máximo de n variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas em [0,1], o resultado se aproxima de uma distribuição exponencial com parâmetro λ=n
- Especificamente, se X1,X2,…,Xn são variáveis aleatórias uniformemente distribuídas em [0,1], então Y=−1/λ*ln(∏Xi)tem uma distribuição exponencial com parâmetro λ=n
Essa relação é uma consequência do teorema da transformação inversa e é frequentemente utilizada em simulações e modelagem de processos estocásticos.