Considere uma cadeia de Markov com a seguinte matriz de transição:

P =

A distribuição limite desta cadeia, quando o número de transições de estado tende a infinito, é

Um município contém 200 escolas, totalizando 2.000 turmas e 45.000 alunos de ensino médio (as escolas têm diferentes números de turmas, e as turmas têm diferentes números de alunos). Uma pesquisa por amostragem foi feita para avaliar a qualidade do ensino médio no município, utilizando um plano amostral em dois estágios. No primeiro estágio foram selecionadas 40 escolas por amostragem com probabilidades proporcionais ao tamanho (PPT) sem reposição, tendo sido adotado, como medida de tamanho, o número de turmas das escolas. No segundo estágio foram selecionadas, por amostragem aleatória simples sem reposição, 5 turmas dentro de cada escola selecionada no primeiro estágio. Foram entrevistados todos os alunos das turmas selecionadas no segundo estágio.

A probabilidade de inclusão de cada aluno do município na amostra final é

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias contínuas, com funções de densidade marginais f_X(x) e f_Y(y), respectivamente, e função de densidade conjunta f_X,Y(x,y).

As variáveis X e Y são independentes se

A altura das mulheres de uma população segue uma distribuição normal de probabilidade, com média 1,60 e variância 0,0036.

Na população considerada, cerca de 95% das mulheres têm altura entre

Um carteiro decide registrar o número de cartas enviadas a um endereço nos últimos 7 dias. No entanto, ele se esquece do número de cartas do primeiro dia, lembrando-se apenas daqueles correspondentes aos 6 dias restantes: 3, 5, 4, 5, 4 e 3, e de que, nos 7 dias considerados, a média, a mediana e a moda foram iguais.

O número de cartas enviadas no primeiro dia foi

Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional distribuída uniformemente sobre a região R = {y > 0, 0 < x < 1, x + y < 1}.

A probabilidade P(Y < 3X) vale

O registro mensal de mercadorias com peso maior do que 0,5 kg despachadas por uma transportadora, nos últimos 8 meses, foi

7 33 15 21 11 35 7 7

A mediana associada aos dados acima é

X e Y são variáveis aleatórias com função de densidade conjunta: f(x, y) = k(y² + x), 0 < x < 1 - y², −1 < y < 1, sendo k uma constante a ser determinada. O valor de k é

O coeficiente de curtose de uma variável aleatória X, com média μ e desvio padrão σ, é

Obs.: E(θ) é a esperança da variável θ.

A função de densidade de uma variável aleatória X é dada por f(x) = x/4, para 1 ≤ x ≤ 3, com f(x) = 0 para os demais valores de x. A probabilidade de que X assuma um valor menor que 2 é

Um supermercado recebe fruta tropical proveniente de dois fornecedores, A e B. Enquanto A fornece caixas de 20 frutos, B fornece caixas maiores com 100 frutos cada uma. Alguns dos frutos, sem qualidade, têm peso inferior ao peso estabelecido para que seja considerado aceitável pelo supermercado.

Com vistas a comparar a qualidade dos frutos fornecidos por A e B foi feito um estudo, obtendo-se os seguintes dados:

Fornecedor A

Número de frutos sem qualidade	Número de caixas
0	25
1	36
2	19
3	11
4	5
5	4

Fornecedor B

Número de frutos sem qualidade	Número de caixas
0 - 4	17
5 - 9	49
10 - 14	22
15 - 19	8
20 - 24	3
25 - 29	1

A média de frutos sem qualidade, por caixa, para os fornecedores A e B é, respectivamente,

Estatísticas do Departamento de Trânsito sobre o envolvimento de motoristas em acidentes com até 2 anos de habilitação indicam que o seguinte modelo pode ser adotado, ou seja, a variável aleatória X representa o número de acidentes e assume valores 0, 1, 2, 3 e 4:

Número de Acidentes (X)	0	1	2	3	4
P(X = x)	0,3	0,2	0,1	0,1	0,3

O valor esperado e o desvio padrão da variável aleatória X são, respectivamente,

“Encontrando um valor de k, de tal forma que k seja função de densidade de probabilidade tem-se que o valor da esperança marginal de X é dado por _______, o valor da esperança marginal de Y é dado por _______ e o valor da probabilidade de X ser menor que Y é dado por _______.” Assinale a alternativa que completa correta e sequencialmente a afirmação anterior.  

Qual valor de k para que a função seja de densidade de probabilidade?

Na elaboração do Censo 2010, a estimativa da população do Brasil, em 1º de julho de 2009, foi de 191.480.630 habitantes. A cidade de Borá – SP teria sua população estimada em 805 habitantes, sendo considerada a cidade com menor população do Brasil, e São Paulo – SP com a população estimada em 11.037.593 habitantes, sendo considerada a cidade com a maior população do Brasil. A seguir, a tabela de fração amostral dos domicílios utilizada pelo IBGE para responder o formulário completo de acordo com a magnitude do município. Observe. 
Fração amostral e número de municípios, segundo as classes de tamanho da população dos municípios 


Considerando que a população dos 40 maiores municípios é estimada em, aproximadamente, 57 milhões de habitantes e que o número de habitantes por domicílios é uniforme para todas as classes de tamanho da população dos municípios, analise.
I. A classe de tamanho da população de “mais de 500.000” representa a classe com maior quantidade de habitantes estimados no Brasil.
II. A classe do tamanho da população de “até 2.500” representa mais de 4% do número de municípios e menos de 0,4% de habitantes do Brasil.
III. A classe do tamanho da população de “mais de 20.000 até 500.000” representa a classe com estimativa de maior quantidade de habitantes amostrados no Brasil.
IV. A classe do tamanho de população de “até 500.000” representa menos de 15% dos habitantes possivelmente amostrados no Brasil.
Estão corretas apenas as afirmativas 

Na apresentação de um novo modelo de carro híbrido, a montadora afirma que seu consumo é de 25km/litro com um desvio padrão de 2km/l. Um teste realizado por uma revista especializada selecionou de forma aleatória 16 veículos deste modelo e constatou uma média de 24,2km/litro, com desvio padrão amostral de 3km/l. Deseja-se realizar um teste ao nível de significância de 5%, confirmando o consumo de 25km/litro contra uma hipótese alternativa do consumo ser igual a 24km/litro. Nesta situação, o valor da probabilidade do erro tipo II e o mínimo da função poder do teste, variando somente valores da hipótese alternativa (em valores aproximados) são, respectivamente 

Seja X e Y variáveis aleatórias independentes e identicamente (i.i.d.). A Função Geradora de Momentos (F.G.M.) de cada uma delas é dada por 
M(t) = e^t²-2 para - ∞ < t < ∞
Com base nestas informações, encontre a F.G.M. de uma variável Z = 2 . X – Y + 3. 

Uma determinada universidade conta com 800 funcionários, dos quais 300 são técnicos e 500 são professores. Deseja-se obter a opinião das categorias funcionais em separado com relação a ser favoráveis à realização de um movimento grevista. Considerando tais informações, o tamanho aproximado de uma amostra aleatória simples com erro máximo de 5% da real proporção, e confiança na estimativa do intervalo de 99% para classe de técnico e classe de professor é de, respectivamente

“Em uma partida de vôlei, um time precisa vencer 3 sets para ser o vencedor. Admita-se que no confronto entre os times A e B, o time A tenha probabilidade 50% maior que o time B de vencer um set. Admitindo-se que as probabilidades de vitória de um determinado set em uma partida ocorram de forma independente, então a probabilidade do time A vencer uma partida, é aproximadamente __________ maior que do time B.” Assinale a alternativa que completa corretamente a afirmação anterior. 

Um teste de múltipla escolha é elaborado com 10 questões em que cada questão contém 5 alternativas, sendo apenas uma correta. Um determinado candidato que realizar o teste e tem probabilidade de 75% de saber a resposta de uma questão. Se o candidato não souber a resposta, existe a possibilidade de acertar “no chute”. O acerto das questões do teste é dado de forma independente para este candidato. Analise as afirmativas.
I. Dado que o candidato não saiba a resposta de uma determinada questão, a probabilidade dele acertá-la é de 20%.
II. A probabilidade de o candidato acertar uma questão selecionada de forma aleatória é de 80%.
III. Dado que o candidato acertou uma determinada questão, a probabilidade de ele saber realmente a resposta é de mais de 90%.
IV. Para este teste, o candidato só é aprovado se acertar pelo menos 9 das 10 questões. Caso o candidato seja aprovado, a chance dele tirar um 9 é 2,5 vezes maior que tirar um 10.
Estão corretas apenas as afirmativas