Questões de Concurso Sobre componentes principais em estatística

Numa pesquisa, observou-se uma amostra aleatória de tamanho n=100 do vetor aleatório X = [X₁ X₂ ... X_p]^T, p =12. Um modelo de análise fatorial ortogonal com dois fatores foi ajustado aos dados utilizando-se a matriz de correlação amostral das 12 variáveis. O método de Componentes Principais foi utilizado na estimação das cargas fatoriais. Na tabela 5 apresentam-se os valores das cargas fatoriais estimadas para as variáveis X₁ e X₂ padronizadas. 
              Tabela 5. Dados da questão 53 Variável                  Fator 1                Fator 2 X₁padronizada           0,80                    0,10 X₂ padronizada           0,20                    0,76
Nesse caso, pode-se dizer que a correlação estimada, pelo modelo de análise fatorial, entre as variáveis X₁ e X₂ é aproximadamente igual a  

Seja [X₁ X₂ ... X_p]^T um vetor aleatório de dimensão px1, p=10. Sabe-se que a matriz de covariâncias do vetor dada por Σ_pxp tem apenas q autovalores maiores do que zero, q<p. Uma análise de componentes principais foi realizada via decomposição da matriz Σ_pxp.
Com base nessas informações, assinale a alternativa que completa corretamente as lacunas da frase a seguir.
A matriz Σ_pxp é ________ e as variâncias das (p-q) componentes principais são ______. 

A análise dos componentes principais é um método de se expressarem os dados multivariados. Ela permite que o pesquisador reoriente os dados para que algumas poucas primeiras dimensões expliquem tantas informações quanto possível. A análise de componentes principais é também útil na identificação e compreensão dos padrões de associação entre as variáveis. Considere as cinco afirmações seguintes, sobre a análise dos componentes principais:

I. O primeiro componente principal, Z₁ é dado pela combinação linear das variáveis originais X = [ X₁ X₂, ..., X_p] com maior variância possível.

II. Todos os componentes principais subsequentes são escolhidos para que não sejam correlacionados a todos os componentes principais anteriores.

III. Em razão de a análise de componentes principais buscar maximizar a variância, ela pode ser altamente sensível às diferenças de escala entre variáveis. Assim, é uma boa ideia padronizar os dados e representá-los por X_s.

IV. A solução para o problema dos componentes principais é obtida realizando-se uma decomposição de autovalor da matriz de correlação. Cada autovetor, indicado por U_i, representa a direção de um desses eixos principais. O vetor u controla os pesos usados para formar a combinação linear de X_s, que resulta em z_i= X_s.U_i.

VI. No caso mais geral, só faz sentido utilizar a análise dos componentes principais quando os dados não são independentes. Barlett fornece um teste de qui- quadrado para determinar a esfericidade dos dados, 2 representado por X ² = - [ n - 1 + (2p + 6)/5]ln | R|, com 2 (p² - p)/2 graus de liberdade, onde p é o número de variáveis, n é o tamanho da amostra, e R é a matriz de correlação.

Dentre as seis afirmações dadas, quantas são falsas?

Uma análise de componentes principais considerou 20 variáveis. Com base na matriz de covariância entre essas variáveis, observou- se que os cinco maiores autovalores foram iguais a 6, 4, 3, 2 e 1. Considerando esses resultados, assinale a opção correspondente ao percentual de variação explicada por esses cinco maiores autovalores.

Considere as seguintes afirmações:

I. Na análise de componentes principais a informação contida em um vetor aleatório
p-dimensional é substituída pela informação contida num vetor aleatório q-dimensional
(q < p), de variáveis aleatórias correlacionadas, denominadas pelo nome de componentes principais.

II. O escalonamento multidimensional é uma técnica matemática apropriada para representar n elementos num espaço de dimensão menor que o original, levando-se em consideração a similaridade que os elementos têm entre si.

III. Na análise de agrupamentos nenhuma variável é definida como dependente ou independente.

Dentre as afirmações acima são verdadeiras APENAS

Sobre análise multivariada, analise.

I. Os componentes principais amostrais são combinações lineares das variáveis mensuradas que maximizam a variação total da amostra e que são mutuamente ortogonais.

II. O algoritmo das k-médias é um tipo de agrupamento não hierárquico que particiona n objetos em k grupos.

III. O método de correlação canônica analisa combinações não lineares das variáveis em dois grupos para determinar as combinações que possuem a maior correlação.

Assinale

Oobjetivo principal da Análise de Componentes Principais é:

Considere as seguintes afirmações relativas às técnicas de Análise Multivariada:

I. Na análise de correspondência usa-se como medida de similaridade a distância Euclidiana média.
II. O objetivo principal da análise de componentes principais é o de explicar a estrutura de variância e covariância de um vetor aleatório, composto por n variáveis aleatórias, através da construção de combinações lineares das variáveis originais.
III. O escalonamento dimensional é uma técnica matemática apropriada para representar graficamente n elementos num espaço de dimensão menor que o original, tendo-se em consideração a distância ou similaridade que os elementos têm entre si.
IV. Na análise de agrupamentos, uma medida de similaridade que pode ser utilizada é a distância Euclidiana.

Dentre essas afirmações citadas são verdadeiras SOMENTE

Considere as seguintes afirmações relativas às técnicas de Análise Multivariada:

I. Na análise de componentes principais a obtenção das componentes principais envolve a decomposição da matriz de covariâncias do vetor aleatório de interesse.

II. Na análise discriminante não é necessário que os grupos nos quais cada elemento amostral pode ser classificado sejam conhecidos à priori.

III. O escalonamento dimensional gera uma medida de ajuste denominada Stress que quanto mais próxima de 1 estiver melhor será o ajuste.

IV. Na análise de agrupamentos, para que se possa proceder ao agrupamento de elementos, é necessário se decidir à priori a medida de similaridade ou dissimilaridade que será usada.

Dentre essas afirmações citadas são verdadeiras SOMENTE