Um engenheiro civil está projetando o arco decorativo de uma ponte. Para o cálculo da área de revestimento, ele considera o seguinte modelo geométrico:

• Um semicírculo maior, de raio 2, construído sobre o segmento AB;

• Três semicírculos menores, cada um de raio 1, construídos sobre o mesmo diâmetro AB;

• Os centros dos semicírculos menores dividem o segmento AB em quatro partes iguais, conforme ilustrado.

A região sombreada corresponde à parte interna ao semicírculo maior, mas externa aos três semicírculos menores. Qual o valor da área dessa região sombreada? 

Um arquiteto paisagista está projetando uma fonte decorativa composta por duas estruturas semicirculares:

• o semicírculo menor, de diâmetro 1, representa a parte superior da fonte;

• o semicírculo maior, de diâmetro 2, representa a base.

A parte sombreada, situada dentro do semicírculo menor e fora do maior, forma uma faixa curva, conhecida em geometria como luna. Qual a área dessa luna? 

Um engenheiro está projetando pequenos painéis triangulares de madeira para compor uma estrutura decorativa. Cada painel deve ter perímetro igual a 7 unidades e lados com comprimentos inteiros. Quantos triângulos não congruentes podem ser formados nessas condições?

Considere o número

21! = 21 × 20 × 19 × ⋯ × 2 × 1.

Sabe-se que esse número possui mais de 60 mil divisores inteiros positivos. Se um desses divisores é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de ele ser ímpar?

Duas retas no plano cartesiano são dadas pelas equações

ax − 2y = c e 2x + by = −c

Sabendo que essas retas são perpendiculares e que se interceptam no ponto (1, −5), determine o valor de c. 

Em uma empresa de tecnologia, os códigos de identificação dos produtos são formados apenas por números inteiros positivos. Para cada produto, define-se uma função S (n), que corresponde à soma dos dígitos do número n.

Por exemplo, S(1507) = 13. Sabe-se que, para determinado produto, o código possui soma dos dígitos iguais a S(n) = 1274. Ao ser gerado o próximo código sequencial, de número n + 1, qual dos seguintes valores poderia ser o valor de S (n + 1)?

Em um congresso com 30 participantes, há 20 pessoas que já se conhecem entre si e 10 pessoas que não conhecem ninguém do grupo. Durante o evento, foi combinado o seguinte protocolo de cumprimento:

• quando duas pessoas já se conhecem, elas se abraçam;

• quando duas pessoas não se conhecem, elas apertam as mãos.

Sabendo disso, determine quantos apertos de mão ocorrem durante o congresso.

Qual o resto da divisão do número 1999²⁰²⁵ por 5?

Qual a medida do ângulo A?

Um grupo de amigos decidiu divulgar um evento beneficente espalhando cartazes pela cidade. Cada cartaz tem probabilidade de 1/2 de ser notado por uma pessoa que passa por ele. Sabendo que um mesmo rapaz passará por todos os cartazes que serão colocados, eles desejam que a probabilidade do rapaz perceber pelo menos um deles seja maior que 99/100.

Qual é o número mínimo de cartazes que devem ser fixados?

Três inteiros distintos são escolhidos ao acaso do conjunto

{2021, 2022, 2023,2024, 2025, 2026,2027, 2028, 2029,2030}.

Qual é a probabilidade de que a média aritmética dos três números escolhidos seja um número inteiro?

Durante uma aula de programação, o estudante João desenvolveu um código para identificar números “limpos”, ou seja, números que não contêm o dígito zero. Como teste, ele pediu que o programa analisasse todos os divisores positivos de 100.000 e informasse quantos deles não possuem o algarismo 0. Quantos divisores positivos de 100.000 não contêm o dígito zero?

Durante uma pesquisa sobre modelos cúbicos aplicados à dinâmica de sistemas, a estudante Clara analisava um polinômio que descrevia o comportamento de uma partícula em equilíbrio. O modelo matemático obtido foi:

x³ − 2022x² + 2022x + 2022 = 0.

As três posições possíveis de equilíbrio da partícula são representadas pelas raízes distintas r, s e t dessa equação. Para estudar a estabilidade do sistema, Clara precisou calcular a seguinte expressão, que representa uma combinação adimensional de respostas do sistema:

1/1−r² + 1/1−s² + 1/1−t².

Qual o valor numérico dessa expressão?

A equação

4^x − 5 ⋅ 2^x+1 + 16 = 0

tem algumas soluções inteiras para x. Qual o valor da soma dessas soluções?

Durante um projeto de design gráfico, o estudante Rafael recebeu a tarefa de criar o logotipo de uma empresa usando apenas formas geométricas básicas. Ele começou desenhando um quadrado de lado 6 cm sobre a tela digital. Em seguida, para distribuir pontos de referência, dividiu cada lado do quadrado em 3 partes iguais, marcando 2 pontos em cada lado, totalizando 8 pontos igualmente espaçados ao redor do contorno. Depois de testar várias figuras geométricas, Rafael percebeu que um círculo podia ser traçado passando exatamente por esses 8 pontos, formando o contorno principal do logotipo.

Com base nessa construção, qual é a área desse círculo?

Em uma aula sobre progressões, o professor de Matemática apresentou exemplos de sequências em que é possível calcular a soma de todos os termos, sendo elas:



Quais estão corretas?

Seja V₁ o volume de uma esfera de raio R > 0. Se V₂ é o volume do cubo inscrito nessa esfera, quanto vale V₁ / V₂ ? 

Sobre matrizes e determinantes, analise as assertivas abaixo:

I. Se A e B forem matrizes quadradas, então AB = BA.
II. Se A for uma matriz 3 x 2 e B uma matriz 3 x 3, então a matriz produto BA está definida e é do tamanho 3 x 2.
III. Se A é uma matriz quadrada com apenas entradas positivas, então det(A) > 0.

Quais estão corretas?

A distância entre o ponto mínimo da função f (x) = x² + 4x + 5 e o ponto máximo da função g (x) = −x² + 2x − 1 é:

Sabendo que log₁₀2 ≈ 0,301 e log₁₀3 ≈ 0,477, qual é o valor aproximado da expressão a seguir?

log₁₀(3 ⋅ 6 ⋅ 12 ⋅ 24 ⋅ 48 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ 24576)