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Sabe-se que certa proporção populacional p de “sucessos” ou é igual a 0,2 ou é igual a 0,5. Para testar H0 : p = 0,2 versus H1 : p = 0,5, com base numa amostra aleatória de cinco observações, será usado o seguinte critério: se o número de “sucessos” nessa amostra for maior do que 1, rejeita-se H0.
A probabilidade de erro tipo 2 desse critério é igual a
Considere uma amostra aleatória X1, X2, ... , Xn de uma função de densidade de probabilidade f(x) com função de distribuição acumulada F(x).
Se Y = min {X1} é a primeira estatística de ordem, então a função de densidade de Y será dada por
Considere uma amostra aleatória X1, X2, X3, X4 , de tamanho 4, de uma variável populacional com média μ e variância σ2 e os seguintes eventuais estimadores de μ:
T1 = (X1 + X2 + X3 + X4)/4
T2 = (X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4/10
T3 = (X1 - 2X2 - 2X3 + 4X4)/10
T4 = X1
T5 = (X1 - 2X2+ 3X3 - 4X4)/4
A variância de T5 é igual a:
Considere uma amostra aleatória X1, X2, X3, X4 , de tamanho 4, de uma variável populacional com média μ e variância σ2 e os seguintes eventuais estimadores de μ:
T1 = (X1 + X2 + X3 + X4)/4
T2 = (X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4/10
T3 = (X1 - 2X2 - 2X3 + 4X4)/10
T4 = X1
T5 = (X1 - 2X2+ 3X3 - 4X4)/4
Dos estimadores de μ apresentados, o de menor variância é
Considere uma amostra aleatória X1, X2, X3, X4 , de tamanho 4, de uma variável populacional com média μ e variância σ2 e os seguintes eventuais estimadores de μ:
T1 = (X1 + X2 + X3 + X4)/4
T2 = (X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4/10
T3 = (X1 - 2X2 - 2X3 + 4X4)/10
T4 = X1
T5 = (X1 - 2X2+ 3X3 - 4X4)/4
São estimadores não tendenciosos de μ:
Suponha que os pesos de indivíduos adultos do sexo masculino numa população sejam normalmente distribuídos com média μ e variância σ2 . Uma amostra aleatória simples de tamanho 5 foi obtida e apresentou os seguintes dados (em kg): 70,0; 72,5; 74,0; 75,5; 78,0.
A estimativa de máxima verossimilhança da variância populacional é igual a
X e Y são variáveis aleatórias com função de densidade de probabilidade conjunta dada por:
O valor da constante k é
Se x1 , x2 , ..., x10 são dez variáveis aleatórias independentes com distribuição Poisson (λi), λi = i, i = 1, ..., 10, então a variável x1 + ...+ x2 tem distribuição
Suponha que os pesos de universitários do sexo masculino sejam normalmente distribuídos com média de 68 kg e desvio padrão 8 kg e que os pesos das universitárias sejam normalmente distribuídos com média de 65 kg e desvio padrão 6 kg.
Se quatro rapazes e quatro moças dessa população universitária forem aleatoriamente escolhidos, a probabilidade de que a soma dos pesos das moças seja maior do que a soma dos pesos dos rapazes é igual a
Os diâmetros da seção reta de componentes cilíndricos produzidos por uma determinada empresa são normalmente distribuídos. O processo industrial prevê uma média de 1 cm e um desvio padrão de 0,1 cm para esses diâmetros.
Para avaliar se, num determinado momento, o processo ainda está ajustado para a média de 1 cm, o controle de qualidade da empresa resolve adotar a seguinte estratégia: obter uma amostra aleatória de tamanho 64 e rejeitar a hipótese H de que a média é igual a 1cm com base no intervalo de 95% de confiança para a média.
Obtida a amostra, verificou-se uma média amostral igual a 1,01 cm. Supondo que o desvio padrão populacional continua igual a 0,1 cm, o intervalo de confiança para a média e a respectiva decisão, ao nível de significância de 5%, são:
Os diâmetros da seção reta de componentes cilíndricos produzidos por uma determinada empresa são normalmente distribuídos. O processo industrial prevê uma média de 1 cm e um desvio padrão de 0,1 cm para esses diâmetros.
Se uma amostra aleatória de 36 diâmetros for observada, a probabilidade de que a média amostral seja um número maior do que 0,98 cm e menor do que 1,02 cm é, aproximadamente, igual a
Os diâmetros da seção reta de componentes cilíndricos produzidos por uma determinada empresa são normalmente distribuídos. O processo industrial prevê uma média de 1 cm e um desvio padrão de 0,1 cm para esses diâmetros.
Para que a porcentagem de diâmetros maiores do que 0,9 cm e menores do que 1,1 cm, mantida a média de 1,0 cm, seja igual a 90%, o desvio padrão dos diâmetros deveria ser aproximadamente igual a
Os diâmetros da seção reta de componentes cilíndricos produzidos por uma determinada empresa são normalmente distribuídos. O processo industrial prevê uma média de 1 cm e um desvio padrão de 0,1 cm para esses diâmetros.
A porcentagem de diâmetros maiores do que 0,9 cm e menores do que 1,1 cm é
Uma variável aleatória contínua X tem função de distribuição acumulada dada por:
A mediana de X é igual a
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo (0, θ). A variância de X é igual a
Suponha que pessoas procurem certo caixa eletrônico de acordo com um processo Poisson com uma taxa média de uma pessoa a cada dois minutos. A probabilidade de que, num intervalo de quatro minutos, menos de duas pessoas procurem esse caixa é, aproximadamente,igual a (use -2 ≅ 0,135)
Se A e B são eventos, assinale V para a afirmativa verdadeira e F para a falsa
( ) Se A e B são independentes, P[A∪B] = P[A] + P[B] – P[A]P[B].
( ) Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B são independentes.
( ) Se A e B são independentes, então são mutuamente exclusivos.
As afirmativas são, respectivamente,
Texto
29 anos de democracia
_____Mais de 90 milhões de brasileiros, quase metade da população atual, não eram nascidos quando o último general-presidente, João Figueiredo, deixou o Palácio do Planalto. Outros 30 milhões ainda não eram adolescentes.
_____Maioria crescente dos brasileiros, portanto, terá nascido ou se tornado adulta na vigência do regime democrático. A Nova República já é mais longeva que todos os arranjos republicanos anteriores, à exceção do período oligárquico (1889-1930).
_____Em termos de escala, assiduidade e participação da população na escolha dos governantes, o Brasil de 1985 a 2014 parece outro país, moderno e dinâmico, no cotejo com a restrita experiência eleitoral anterior.
_____A hipótese de ruptura com o passado se fortalece quando avaliamos a extensão dos mecanismos de distribuição de oportunidades e de mitigação de desigualdades de hoje. Sozinhas, as despesas sociais no Brasil equivalem, em percentual do PIB, a quase todo o gasto público chinês.
_____A democracia brasileira contemporânea, e apenas ela na história nacional, inventou o que mais perto se pode chegar de um Estado de Bem-Estar num país de renda média. A baixa qualidade dos serviços governamentais está ligada sobretudo à limitação do PIB, e não à falta de políticas públicas social-democratas.
_____Autoritários e populistas do passado davam uma banana para o custeio –e o controle de qualidade– da educação básica. Governos democráticos a partir de 1985 fizeram disparar a despesa. Muito da redução na desigualdade de renda se deve a isso.
_____Ainda assim, a parte da esquerda viúva da ruína socialista vive a defender o “aprofundamento da democracia” e “mudanças estruturais” que nos livrem do modelo de “modernização conservadora” –seja lá o que esses termos signifiquem hoje.
_____Já ocorreu a tal “mudança estrutural”. O Brasil democrático não se parece com seu passado tristonho, embora ainda haja tanto por fazer.
(Vinicius Mota, Folha de São Paulo)
“Mais de 90 milhões de brasileiros, quase metade da população atual, não eram nascidos quando o último general-presidente, João Figueiredo, deixou o Palácio do Planalto”.
Assinale a opção que mostra uma afirmação correta sobre a concordância verbal desse período.
I. A mediana e a média são idênticas se P(T) for simétrica. II. A moda corresponde ao valor de T onde P(T) é máxima. III. A média é maior que a moda se P(T) tem obliquidade ou skewness (terceiro momento) positiva. IV. A integral de P(T) sobre todo o espaço amostral não é conhecida a priori.
Assinale a alternativa correta:
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