Considere os estimadores a seguir, tendo em vista a média populacional μ , a partir de uma amostra de tamanho n.

Se a variância populacional é finita, sobre as propriedades de  e  correto afirmar que:

Para estimar, por máxima verossimilhança (MV) ou pelo método dos momentos (MM), o único parâmetro de dada distribuição de probabilidades, seleciona-se uma amostra de tamanho n.

A função densidade da distribuição é: 

f_x(x) = θx^θ-1 , para 0 < x < 1 e zero caso contrário.Além disso, considere:

Então, os estimadores de MV e de MM (com base na média da distribuição) para θ são, respectivamente: 

A distribuição das alturas dos indivíduos de uma população é aproximadamente Normal, com média 1,70 m e variância 0,01. Adicionalmente, não havendo, na população, pessoas com alturas inferiores a 1,50 m nem superiores a 1,90 m, essa distribuição é truncada nos extremos. 

São fornecidas também as seguintes informações: 

ɸ (1)≅ 0,84 e ɸ (2) ≅ 0,98

ɸ (z) = função distribuição acumulada da Normal Padrão 

Então a probabilidade de que um indivíduo da população, sorteado ao acaso, tenha altura entre 1,60 m e 1,80 m é: 

Suponha que uma amostra de tamanho n = 5 é extraída de umapopulação Normal, com média desconhecida, obtendo asseguintes observações: 

X₁ = 3, X₂ = 5, X₃ = 6, X₄ = 9 e X₅ = 12

São dados ainda os seguintes valores, retirados da tabela da distribuição Qui-Quadrado:  

Se a população tem variância verdadeira σ² = 4 em nova amostra (n=5), a probabilidade de se observar uma variância amostral maior do que a anterior é de: 

Um fabricante de equipamentos de informática, que conhece a distribuição do tempo de vida útil dos HDs externos, precisa avaliar os gastos com serviços de garantia. Essa distribuição é a exponencial com média β = 15 anos, sendo que os HDs já vendidos têm, por hipótese, 3 anos de uso, sem apresentar defeitos. Supondo que a garantia é de 12 anos, a probabilidade de que ele tenha que prestar assistência a um determinado HD entre os vendidos é:

Suponha que uma amostra aleatória de tamanho n = 3 será extraída de uma população cuja variável a ser observada é X, tendo função de densidade teórica f_x(x) =2x para 0 < x < 1 e zero caso contrário. A extração é feita com a ajuda de uma tabela de números aleatórios, com valores convertidos aos valores amostrais de X através da transformação integral de Y = F_x(x),que é a função distribuição acumulada de X. Se os valores lidos na tabela de aleatórios forem 0,25, 0,49 e 0,81, a média amostral será igual a:

De uma população arbitrariamente grande é extraída uma pequena amostra de tamanho n = 5, com o objetivo de avaliar o apoio a um dirigente político. Se forem verdadeiros os rumores de que tal indivíduo tem o apoio de apenas 10% da população, então a probabilidade de que dois se declarem favoráveis a ele é de:

Seja X uma variável aleatória contínua e Y= G(X) uma função de X tal que, no domínio da f_x(x), densidade da X, as derivadas de 1ª e de 2ª ordem da G(X) são estritamente negativas. Considerando, 

f_y(y)= função densidade de probabilidade de Y;

f_x^-1(x) = função inversa da densidade de X;

= derivada de f(x) com respeito à x;

E(X) = esperança matemática de X;

h[f(X)] = função composta de f com h. 

Então é correto afirmar que: 

A capacidade de um time de futebol de marcar gols em uma única partida é uma variável aleatória. A tabela a seguir apresenta a probabilidade de certo time marcar um número mínimo (Y) de gols em uma partida:

Isso significa que o número médio de gols marcados por esse time em uma única partida de futebol é igual a: 

Seja X uma variável aleatória mista com função densidade de probabilidade dada por:

f_x(x) = 1/x² para 1< x ≤ 4 , P(X = 1 ) = 0,25, sendo igual azero caso contrário.

Então os valores de P ( X ≤ 2 ) e E (X²) , esperança matemática de X ao quadrado, são respectivamente iguais a:

Suponha que o número de chegada de pessoas a uma fila é uma variável aleatória, cuja média, proporcional ao tempo, é de seis pessoas por hora. As chegadas são independentes e a probabilidade de que duas pessoas cheguem à fila num mesmo segundo é nula. Logo, uma aproximação para a probabilidade de que duas pessoas entrem na fila no período de meia hora é:

Em um jogo de azar disputado por dois indivíduos, através de uma sequência de rodadas, vencerá aquele que ganhar, antes do que o outro, uma das rodadas. A chance de que cada um vença qualquer rodada é de 2/9 e 1/3. Assim a probabilidade de que cada jogador vença o jogo, são respectivamente:

A microcefalia tem, em síntese, duas causas, a contaminação pelo zika vírus, transmitido pelo aedes aegypti, além de um conjunto de outras origens. Entre a população feminina de grávidas, sabe-se que 5% foi picada pelo mosquito, enquanto 10% está sujeita as outras origens, não havendo interseção entre esses dois grupos. O desenvolvimento da doença não é certo, acontecendo em 80% das picadas do mosquito e em 30% na eventualidade das outras origens.

Se uma mulher, sorteada aleatoriamente entre as grávidas, carrega um feto que apresenta o problema, a probabilidade de que ela NÃO tenha sido picada pelo mosquito é de:

Um experimento é realizado a partir de três urnas, contendo bolas brancas e pretas com a seguinte composição:

Urna I = 3 Brancas e 4 Pretas

Urna II = 5 Brancas e 3 Pretas

Urna III = 2 Brancas e 3 Pretas

A realização consiste em, a partir da Urna III, sortear uma bola e colocar na Urna I, caso seja branca, ou na Urna II caso seja preta. Em seguida é escolhida, aleatoriamente, uma bola da urna que foi abastecida. Se ao final do experimento a bola sorteada foi branca, a probabilidade de que a primeira bola sorteada tenha sido preta é igual a: 

Suponha que, por coincidência, as 12 pessoas que estão numa sala de espera, aguardando por uma chamada, nasceram todas no mês de agosto. Então a probabilidade de que não haja sequer uma coincidência entre os dias do mês de nascimento é de:

A presente prova de estatística está sendo aplicada a uma população de candidatos composta por 70% de indivíduos bem preparados, 20% de medianos e 10% de insuficientes. Os mais aptos têm probabilidade de 80% de acertar qualquer questão, sendo essa probabilidade 25% menor no caso dos medianos e outros 50% menor no caso dos insuficientes, com relação aos medianos. Um candidato é escolhido ao acaso. A probabilidade de que ele acerte determinada questão é de:

Sobre os eventos mutuamente exclusivos e/ou independentes de um mesmo espaço amostral S, a partir de um experimento aleatório ɛ é correto afirmar que: 

Considere os eventos A e B quaisquer de um mesmo espaço amostral S de um experimento aleatório ɛ. Caso P(A) = 0,40 então é possível supor que:

Considere a variável aleatória bidimensional (X,Y) cuja função de densidade conjunta é dada por:

f_x,y(x,y) = 3/4. y.x²,0 < x < 2 e 0 < y < 1 e zero caso contrário. Então:

Sejam X, Z e W variáveis aleatórias tais que, Var (W) = 16, ρ(X,Z) = 1,    Var (3.Z + 2 .X) = 144, Cov(W,Z) = 4 e ρ(W,Z)=0,5.

Então a variância de X é: