Considere Y uma variável aleatória positiva tal que E(Y) = 8 e Var(Y) = 36. A partir dela são definidas outras duas variáveis, quais sejam:

Z = Y² e W = ∛Y

Então, sobre a esperança matemática E[Z – W], é correto afirmar que:

Seja X uma variável aleatória contínua cuja função densidade de probabilidade é expressa por:

 para 0 < x < 4 e Zero; caso contrário.

Além disso, é definida uma outra variável como função de X:

Z =

Sobre essa nova variável, é correto afirmar que:

Para uma amostra aleatória de tamanho n = 5, que ainda será selecionada, considere as variáveis X₍₁₎, X₍₂₎,X₍₃₎,X₍₄₎ e X₍₅₎ que representam os valores amostrais ordenados.

Sabendo-se que a população tem distribuição uniforme no intervalo (0,1), é correto concluir que:

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias contínuas independentes com distribuição conjunta dada por:

ƒ_X,Y(x,y) = x · y para 0 < x < 1,0 < y < 2

e Zero caso contrário .

Então P (X + Y < ½) é igual a:

Seja a distribuição de probabilidade conjunta de variáveis aleatórias discretas conforme abaixo, 

onde k1 e k2 são probabilidades inicialmente desconhecidas. Sendo assim:

Para que as pessoas que aguardam atendimento em uma repartição pública fiquem acomodadas com relativo conforto, é necessário que o recinto seja dimensionado à razão de um metro quadrado de espaço para cada cidadão em espera.

Se o número de pessoas que comparece, por dia, tem distribuição geométrica, com parâmetro p = 0,2, é correto afirmar que:

Levantamentos prévios indicaram que o tempo que o cidadão leva para ser atendido nas repartições da Defensoria Pública é uma variável aleatória com função de densidade dada por:

ƒ_r(t) = 2ˑ(1 - t), Para 0 < t < 1 e Zero caso contrário

onde t é o tempo decorrido do momento em que o cidadão chega à repartição até o instante do atendimento, medido em fração de hora.

Se necessário, utilize a informação aproximada √2 ≅ 1,4.

Assim sendo, é correto concluir que:

A abrangência do atendimento da Defensoria Pública depende da condição econômica do cidadão e também do tipo de causa envolvida. Sabe-se que 80% das demandas surgem em função da hipossuficiência econômica, e os outros 20% devem-se a causas no âmbito criminal. Entre aqueles que não dispõem de recursos, 90% têm suas necessidades atendidas, enquanto entre os envolvidos em ações criminais, só 40% são beneficiados com a gratuidade.

Suponha que um indivíduo do cadastro dos que procuram a Defensoria seja sorteado ao acaso, verificando-se tratar-se de alguém atendido gratuitamente.

Então, a probabilidade de que o sorteado seja um dos que procuraram a Defensoria por causa de questões criminais é igual a:

Uma análise sobre o perfil da população que é atendida pela Defensoria Pública revelou um quadro de ampla diversidade. Foram consideradas apenas duas características, nomeadamente homens (H) vs mulheres (M) e evangélicos (E) vs católicos (C), sendo as demais orientações religiosas, incluindo o ateísmo, pouco significativas do ponto de vista estatístico.

A partir daí foram relacionadas as seguintes informações:

P(H) = 0,41, P(E ∩ M) = 0,23 e P(C) = 0,60

De acordo com os dados acima, é possível afirmar que, entre os católicos, os homens representam:

A independência entre os eventos de dado espaço amostral expressa, matematicamente, uma regra de proporcionalidade entre as medidas de probabilidades.

Tendo em consideração essa abordagem do conceito, é correto afirmar que:

Para prevenir que um ouvinte indesejado recupere informações, o transmissor codifica sua mensagem em palavras código utilizando uma chave secreta, que é conhecida pelo legítimo destinatário, mas não pelo ouvinte indesejado. Mensagens, palavras-código e chaves são representadas pelas variáveis aleatórias M, X e K, respectivamente, e se assume que K é independente de M. A função de codificação é representada por e: M x K → X, e a de decodificação é denotada por d: X x K → M. Nós nos referimos ao par (e, d) como um esquema de codificação.

BLOCH, M.; BARROS, J. Physical-layer security: from information theory to security engineering. Cambridge: Cambridge University Press, 2011. Tradução livre.

Considere I(X; Y) = H(X) - H(X | Y), sendo X e Y duas variáveis discretas aleatórias. Acerca do vazamento de informação em uma comunicação, é correto afirmar que ele pode ser medido por

H(X) [entropia de Shannon] pode ser vista como uma medida da quantidade média de informação contida em X ou, de forma equivalente, a quantidade de incerteza que existe até o valor de X ser revelado.

BLOCH, M.; BARROS, J. Physical-layer security: from information theory to security engineering. Cambridge: Cambridge University Press, 2011. Tradução livre.

Acerca da entropia de Shannon, e sendo X uma variável discreta aleatória, assinale a alternativa correta.

Considere que duas variáveis Y_i e x_i  se relacionam de acordo com um modelo de regressão linear simples clássico Yi = α + βx_i + e_i, em que Y_i é a variável resposta, x_i a variável preditora e e_i são os erros supostamente normais, independentes, com média zero e variância constante. Suponha que num determinado experimento foram obtidas amostras de pares (x_i ,Y_i) . Para estes dados amostrais, tem-se o seguinte quadro da análise de variância na regressão:

Nos estudos que envolvem análise de regressão, sabe-se que a proporção da soma de quadrados total que é “explicada” pela regressão é denominada de coeficiente de determinação, comumente representada por r². Considerando as informações apresentadas neste enunciado, pode-se dizer que o valor de r² para os dados em questão é aproximadamente igual a:

O índice de preços de Laspeyres para um conjunto de mercadorias, em um período t, é a média ponderada dos preços relativos dessas mercadorias, utilizando, como fatores de ponderação, os valores monetários das quantidades de cada mercadoria vendidas no período-base. Indicando por Q_i0 a quantidade da i-ésima mercadoria vendida no período-base, o seu valor monetário, considerando o preço nesse mesmo período, é P_i0Q_i0. Então, o índice ponderado de preços no período t, de acordo com o método de Laspeyres pode ser dado pela seguinte relação:

em que P_i0 representa o preço da i-ésima mercadoria no período base e Pit o preço da i-ésima mercadoria no período t.

[Fonte: HOFFMANN, R. Estatística para Economistas, 4ª Ed. São Paulo: Cengange Learning, 2011.]

Considere a tabela abaixo, com os preços e quantidades de alguns produtos relativos ao ano de 2016 e 2018 (suponha que os produtos sejam os mesmos e a pesquisa feita na mesma localidade):

Tomando por base estas informações, pode-se dizer que o índice de Laspeyres considerando como ano base o ano de 2016, é aproximadamente igual a: