Sejam X~N₂ (μ,Σ), com μ=(2 -3)^t e  A distribuição de Y=AX, onde A=(-1 2), é: 

Uma empresa realizou uma pesquisa com os funcionários avaliando 7 quesitos que consideram importantes na realização do trabalho. Cada funcionário atribuiu notas pelo seu desempenho em cada um dos quesitos. Foi realizada então uma análise fatorial com o objetivo de reduzir o número de variáveis e facilitar as decisões obtidas pela empresa.

A Tabela abaixo mostra as cargas fatoriais rotacionadas pelo método Varimax.

A comunalidade é a proporção de variabilidade de cada variável que é explicada pelos fatores.

Nesse sentido, a comunalidade da variável V1 é

Um fabricante de biscoitos conduziu um experimento para avaliar o impacto da localização do produto na prateleira de supermercados sobre as vendas. O experimento envolveu dois fatores: a Altura na Prateleira, com três níveis (superior, média e inferior); e a Disposição Visual, com dois níveis (frontal e lateral), com três observações por célula.

Os dados foram analisados por meio de uma ANOVA de 2 fatores de efeitos fixos, com interação, a 5% de nível de significância, de acordo com os resultados abaixo.

Com base nos resultados e a 5% de significância, tem-se que:

Considere o método de suavização exponencial simples para previsão. Suponha que a taxa de amortecimento seja 0,9, e que a previsão de 1 passo à frente na origem t = 100 é

Se X₁₀₁= 55, qual é a previsão de 1 passo à frente em t = 101?

Seja o modelo autorregressivo integrado médias móveis ARIMA(2,1,0) representado pela equação

X_t = (1+Ø₁ )X_t-1 + (Ø₂ - Ø₁ )X_t-2 - Ø₂ X_t-3 +ε_t , onde ε_t ~RB(0, σ²_ε ).

O valor da função de autocorrelação no lag 1 da forma estacionária de X_t é dada por

Considere o modelo de séries temporais cuja equação é dada por (1- L)(1+0,4L⁷ ) X_t =(1-0,3L+1,2L² )ε_t , ε_t ~N(0, σ²_ε ), levando em conta polinômios autoregressivos e médias móveis, ambos completos.

Tal modelo é um

Uma empresa de marketing contrata um estatístico para analisar a eficiência de uma propaganda de TV na divulgação de um novo sorvete. O estatístico mostra a propaganda em um bairro específico, por um período de tempo. Após este período, ele escolhe adultos, aleatoriamente, quando saem de um supermercado local, para perguntar se eles “viram a propaganda” e se “compraram o novo sorvete”. O consultor também pergunta qual a “renda familiar anual” e se eles “tinham filhos”. O estatístico precisa determinar como a propaganda, o ter filhos e a renda anual estão relacionadas à compra do sorvete pelos adultos amostrados. Um primeiro modelo de regressão logística binária foi estimado e apresentou os seguintes resultados.

Considerando a Tabela da distribuição normal e um nível de significância de 5%, verifica-se que as variáveis preditoras

Numa indústria de medicamentos, o processo de envase de certo medicamento está sob controle. O processo segue uma distribuição normal centrada com limite superior de especificação de 12,4 e inferior de 7,0. O desvio padrão observado é = 0,5.

Com base na Capacidade do processo, qual o percentual aproximado da amplitude especificada que é utilizada pelo processo?

Uma pesquisa de mercado, para uma amostra de 250 consumidores, foi realizada para avaliar a aceitação pelo consumidor de um novo AZEITE. Cada consumidor foi convidado a dar uma nota de 1 a 5 aos atributos do produto considerados importantes nessa avaliação, como: (1) sabor, (2) aroma, (3) cor, (4) textura, (5) utilidade, (6) facilidade de locais de compra e (7) embalagem.

Na Tabela, têm-se os autovalores da matriz de correlações amostrais.

Tabela: Autovalores da matriz de correlação amostral

Numa análise fatorial, a decisão do número de fatores pode ser pelo percentual de variação explicada obtido a partir dos autovalores.

Para se obter, neste caso, um percentual de variação explicada acima de 90%, qual a quantidade mínima de fatores?

A seleção de uma estrutura de dados adequada muitas vezes acelera a solução de um problema. A Pilha é uma das estruturas de dados mais importantes.

Que propriedade caracteriza uma Pilha?

Uma loja de conveniência, num posto de gasolina, tem um horário peculiar: das 0 horas às 8h da manhã. As chegadas dos clientes seguem um processo de Poisson com taxa de chegada variável segundo a função Λ(t)= t(t +1),t ≥ 0.

O número esperado de clientes que chegam até as 3 horas é, aproximadamente,

Um vendedor de uma determinada empresa pode visitar duas cidades A e B para vender o seu produto. Para ir a essas cidades, ele segue algumas regras: caso ele esteja na cidade A, ele escolhe ir, no dia seguinte, para a cidade B com probabilidade 0,7; se ele estiver na cidade B, ele vai para cidade A com probabilidade 0,6.

A matriz de transição da cadeia de Markov é dada por:

Sabendo-se que a probabilidade de ele estar hoje nas cidades A e B são iguais, então a probabilidade de ele estar na cidade B amanhã é

Suponha que os clientes de um supermercado cheguem a um dos caixas de acordo com um processo de Poisson com taxa média λ=4 clientes/hora.

Se o supermercado abre às 7h, a probabilidade de que tenha 5 clientes até as 09h 30min é

Um modelo de regressão linear simples, Y = β₀ + β₁ X + ε, foi aplicado para explicar o consumo de um certo bem em função da taxa de desemprego. Uma amostra aleatória de tamanho 40 foi selecionada e forneceu a informação de que, para cada elevação de 1% na taxa de desemprego, a demanda diminui em 1.000 unidades. A tabela de ANOVA apresenta informações para testar a significância do modelo, fornecendo a estatística do teste F = 400 com Fsig = 9,0 × 10^-22.

O valor da estatística t de Student para o teste da significância de β₁ é

Considere o modelo de regressão linear múltipla com intercepto, da variável dependente Y sobre as p variáveis independentes (X₁ , X₂ , ..., X_p ), na forma matricial:

E(Y) = X.β

Utilizando uma amostra de tamanho n, obtemos o estimador dos mínimos quadrados ordinários =(X^TX)^-1 X^TY. Os valores estimados de Y, =X , podem ser expressos por meio de = X.(X^TX)^-1 X^TY.

Fazendo H = X.(X^TX)^-1 X^T, tem-se =H.Y, sendo a matriz n x n, H, denominada matriz de projeção, isto é, a matriz que projeta o vetor das observações amostrais, Y, no espaço dos valores estimados .

Diante das considerações feitas acima, observe as afirmações a seguir.:

I - H é uma matriz idempotente.

II - = rank(X) = p , onde h_ii é o i^o elemento da diagonal da matriz H.

III - H.(I – H) = O, onde I é a matriz identidade e O, a matriz nula.

IV - e = (I – H).Y, onde e é o vetor dos resíduos amostrais.

Está correto o que se afirma em:

Uma amostra aleatória simples de tamanho n foi extraída de modo independente de uma população com distribuição normal com parâmetros μ e σ, ambos desconhecidos, a fim de se estimar a variância, σ² , da característica de interesse, Y. O estimador de máxima verossimilhança da  amostra foi obtido e expresso por 

Se  e  são os limites inferior e superior da distribuição qui-quadrado com probabilidade (1 – α)100% de se obter um valor entre eles, então para esse nível de confiança, uma estimativa não tendenciosa, por intervalo, para a variância da população é

Sabe-se que, num processo de industrialização de pêssegos em latas, a probabilidade de apresentar peso drenado fora dos padrões é 0,1. Numa amostra aleatória de 100 latas, obtiveram-se 15 latas fora dos padrões.

Sendo assim, a média e o desvio padrão da distribuição amostral para a proporção de latas fora do padrão, respectivamente, são:

A Linfadenite Caseosa é uma doença infectocontagiosa conhecida também como “Mal do Caroço” ou “Falsa Tuberculose”. É causada pela bactéria Corynebacterium pseudotuberculosis, que acomete caprinos e ovinos. Um criador de caprinos tem constatado uma proporção de 10% do rebanho com esta doença. O veterinário aplicou vacinas contendo células bacterianas e/ou toxoides que são eficientes para diminuir o número de animais com abscessos. Após a vacinação, um exame em 100 cabeças do rebanho, escolhidas ao acaso, indicou 4 delas com Linfadenite Caseosa.

No teste de hipótese sobre a eficácia do tratamento, onde H₀ :p=0,10 versus H₁ :p<0,10, tem-se que o quantil é de aproximadamente

Testes estatísticos de hipóteses constituem modelos probabilísticos de decisão sobre a veracidade de uma afirmativa inicial contraposta à sua alternativa. As decisões sobre a veracidade, ou não, de uma hipótese inicial, podem ser corretas, ou não. Logo, o modelo considera um quadro de diferentes probabilidades.

No que concerne a tais testes, tem-se que a(o)

Uma amostra aleatória de tamanho n deve ser extraída de uma população infinita a fim de se estimar a proporção da população, , por meio da estatística Proporção da Amostra, , sendo Y_i uma variável aleatória Bernoulli (π).

Na falta de conhecimento prévio da variância do estimador, optou-se por calcular o tamanho da amostra conservador, considerando uma variância máxima, para um nível de confiança de aproximadamente 95%, e um erro amostral absoluto máximo de um ponto percentual.

Com esses parâmetros, o valor mais aproximado para o tamanho final da amostra é