Questões de Concurso
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Q3711319
Matemática
Em uma turma do Ensino Médio, o professor de Matemática propôs uma atividade de modelagem com um jogo, que usa 27 palitos.
O objetivo do jogo é fazer o oponente retirar o último palito da mesa. Regras: I) os palitos são dispostos na mesa; II) dois jogadores
jogam alternadamente; III) cada jogador, na sua vez, retira uma quantidade de palitos, no mínimo 1 e no máximo 4 palitos;
IV) quem retirar o último palito perde. Logo após as orientações, a turma foi dividida em duplas para jogar. Por fim, o processo de
construção da estratégia máxima (determinar as condições suficientes para ganhar o jogo) e os conceitos matemáticos envolvidos
foram discutidos e registrados.
Nesse cenário, qual a contribuição desse jogo e como se dá a construção da estratégia máxima, respectivamente?
Nesse cenário, qual a contribuição desse jogo e como se dá a construção da estratégia máxima, respectivamente?
Q3711318
Matemática
Uma professora de Matemática pediu aos estudantes de uma turma da Educação de Jovens e Adultos que determinassem o valor da hipotenusa em um triângulo retângulo com medidas dos catetos 120 m e 160 m.
Após ela desenhar na lousa o triângulo e escrever as medidas dos catetos, ocorreu o seguinte diálogo:
Estudante: Professora, a senhora sabe que sou pedreiro, né?
Professora: Sim, eu me lembro de você ter mencionado em uma aula.
Estudante: Esse exercício é fácil de fazer.
Professora: É mesmo!
Estudante: A resposta é 200 metros.
Professora: Como foi que você fez tão rápido?
Estudante: É simples. Nas obras nós temos uma regrinha para determinar o esquadro de uma parede. Eu pego um canto da parede, meço 60 cm e realizo uma marcação. Depois, do mesmo canto eu meço 80 cm na outra parede e faço uma marcação. A linha que une as duas marcações deverá ter 100 cm. Então, as duas paredes estarão no esquadro.
Professora: Mas as medidas que eu pedi são diferentes.
Estudante: Eu percebi rapidamente que as medidas que a senhora escreveu na lousa eram o dobro das que eu uso na “regrinha”. Então, tem que dar 200.
Professora: Mas por que você não usou a fórmula?
Estudante: Eu nem sabia que tinha uma fórmula!
Diante do cenário em sala de aula, qual tendência em Educação Matemática pode subsidiar uma estratégia de ensino da professora, nas próximas aulas, com o objetivo de valorizar os conhecimentos socioculturais que os estudantes carregam de suas historicidades, e qual conteúdo matemático a professora está referenciando no cenário apresentado, respectivamente?
Q3711317
Matemática
Uma professora de Matemática pretende planejar uma
aula para uma turma do Ensino Médio com o intuito de
desenvolver a seguinte habilidade da Base Nacional Comum
Curricular (BNCC):
(EM13MAT309) Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Observando as dificuldades dos estudantes, a professora utilizou a Modelagem Matemática relacionada com a Arquitetura. Para isso, ela selecionou a imagem aérea, a seguir, do Centro Cultural Oscar Niemeyer, situado na cidade de Goiânia.
Após a apresentação da imagem, ela propôs aos estudantes que construíssem uma maquete o mais realista possível. Para isso, foi necessário encontrar as medidas reais dos monumentos que compõem o Centro Cultural Oscar Niemeyer e definir qual seria o tamanho das miniaturas dos monumentos.
O modelo matemático que expressa a relação entre as medidas reais e as medidas das miniaturas é uma ferramenta essencial para a produção da maquete solicitada. Essa relação é representada pela expressão:
(EM13MAT309) Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Observando as dificuldades dos estudantes, a professora utilizou a Modelagem Matemática relacionada com a Arquitetura. Para isso, ela selecionou a imagem aérea, a seguir, do Centro Cultural Oscar Niemeyer, situado na cidade de Goiânia.
Após a apresentação da imagem, ela propôs aos estudantes que construíssem uma maquete o mais realista possível. Para isso, foi necessário encontrar as medidas reais dos monumentos que compõem o Centro Cultural Oscar Niemeyer e definir qual seria o tamanho das miniaturas dos monumentos.
O modelo matemático que expressa a relação entre as medidas reais e as medidas das miniaturas é uma ferramenta essencial para a produção da maquete solicitada. Essa relação é representada pela expressão:
Q3711316
Matemática
Um mapa de contorno, ou mapa topográfico, é uma
representação da elevação de um terreno, superfície modelada
por uma função f(x, y). Essa representação é construída por
linhas chamadas de curvas de nível, que conectam pontos de
mesma altitude, ou seja, pontos que pertencem a um plano
paralelo ao plano xy no espaço tridimensional. Com base nessas
linhas, é possível caracterizar diferentes formações geológicas,
que podem ser representadas matematicamente pelas curvas
de nível. Como exemplo, seguem algumas formações geológicas
que podem ser identificadas, valendo-se do comportamento
dessas curvas:
• montanhas ou colinas: áreas elevadas com declives acentuados ou suaves, apresentam curvas de nível concêntricas e fechadas, com altitudes crescentes em direção ao centro;
• vales ou cursos de água: áreas rebaixadas alongadas, geralmente com formato em V ou U (glaciais), apresentam curvas de nível com a base do V ou U apontando para a direção de maior altitude;
• depressões: áreas rebaixadas em relação ao entorno, podendo ser fechadas ou abertas, apresentam curvas de nível com altitudes decrescentes que podem ser fechadas ou abertas;
• planícies: áreas de superfícies planas ou suavemente onduladas, apresentam curvas de nível muito espaçadas, caracterizando pouca variação de altitude.
Considere o mapa de contorno:
SANTOS, M. J. Mapas e perfis topográficos. Disponível em: https://professormarciosantos4.blogspot.com. Acesso em: 21 maio 2025.
Qual alternativa identifica as formações geológicas destacadas pelas letras A, B e C, respectivamente?
• montanhas ou colinas: áreas elevadas com declives acentuados ou suaves, apresentam curvas de nível concêntricas e fechadas, com altitudes crescentes em direção ao centro;
• vales ou cursos de água: áreas rebaixadas alongadas, geralmente com formato em V ou U (glaciais), apresentam curvas de nível com a base do V ou U apontando para a direção de maior altitude;
• depressões: áreas rebaixadas em relação ao entorno, podendo ser fechadas ou abertas, apresentam curvas de nível com altitudes decrescentes que podem ser fechadas ou abertas;
• planícies: áreas de superfícies planas ou suavemente onduladas, apresentam curvas de nível muito espaçadas, caracterizando pouca variação de altitude.
Considere o mapa de contorno:
SANTOS, M. J. Mapas e perfis topográficos. Disponível em: https://professormarciosantos4.blogspot.com. Acesso em: 21 maio 2025.
Qual alternativa identifica as formações geológicas destacadas pelas letras A, B e C, respectivamente?
Q3711315
Matemática
Uma professora de Matemática utiliza o jogo Minecraft como estratégia para favorecer a compreensão de seus estudantes
quanto à localização de pontos em um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional. A tarefa planejada pela professora
tem a seguinte folha de registro:
“Pratique suas habilidades de teletransporte seguindo a Caça ao Tesouro Coordenada. Se você se perder, pode sempre voltar para a posição original e seguir o caminho de volta pela caça ao tesouro. Você consegue chegar até o final?”.
Um estudante fez os registros no sistema de coordenadas cartesianas conforme a figura.
Sabendo que as retas ilustradas na figura, que passam pelos pontos A, B, C e D, são perpendiculares ao plano z = 0, qual par de pontos está localizado na região do espaço definida por x > 0, y > 0 e z > 0?
“Pratique suas habilidades de teletransporte seguindo a Caça ao Tesouro Coordenada. Se você se perder, pode sempre voltar para a posição original e seguir o caminho de volta pela caça ao tesouro. Você consegue chegar até o final?”.
Um estudante fez os registros no sistema de coordenadas cartesianas conforme a figura.
Sabendo que as retas ilustradas na figura, que passam pelos pontos A, B, C e D, são perpendiculares ao plano z = 0, qual par de pontos está localizado na região do espaço definida por x > 0, y > 0 e z > 0?
Q3711314
Matemática
Em uma atividade de geometria aplicada aos Anos Finais do Ensino Fundamental, um professor propôs aos estudantes que
construíssem um tangram tradicional a partir de uma folha de papel quadrada, utilizando dobraduras. Na folha de papel, usa-se
uma sequência de dobraduras que divide o quadrado em sete peças geométricas. Na primeira etapa, o quadrado original é dobrado
ao longo das diagonais, formando quatro triângulos retângulos congruentes. Na segunda etapa, dobra-se um vértice até o ponto
médio da diagonal para formar um triângulo retângulo. A terceira etapa consiste na dobra de um lado do quadrado original até
o ponto de intersecção das diagonais, formando um paralelogramo. Por fim, dobra-se um vértice do quadrado original até o
ponto de intersecção das diagonais, formando um triângulo retângulo e um quadrado. Após a construção, traçam-se algumas
das linhas marcadas pelas dobraduras que formam as sete peças geométricas do tangram tradicional, e elas são recortadas.
Essa atividade permite aos estudantes concluírem que, dentre as sete peças recortadas,
Essa atividade permite aos estudantes concluírem que, dentre as sete peças recortadas,
Q3711313
Matemática
O cálculo de probabilidades faz parte de qualquer jogo que utiliza dados. Para trabalhar esse conteúdo em uma turma de
Ensino Médio, um professor dividiu os estudantes em dois grupos, entregou ao primeiro um par de dados honestos e ao outro,
um par de dados viciados, todos visualmente idênticos. Apresentou um jogo em que cada jogada exige o lançamento de um par
de dados e a multiplicação dos números das faces obtidas na jogada. Cada grupo joga com o par de dados que havia recebido.
O professor pediu aos estudantes que anotassem os resultados obtidos e, no decorrer das partidas, eles observaram que as
frequências desses resultados, em cada grupo, estavam significativamente diferentes. Conjecturaram que poderia haver dados
viciados. O professor explicou que sim e que, em cada dado do segundo grupo, a probabilidade de se obter a face 5 era o triplo
da probabilidade de se obter qualquer uma das outras faces. Ele desafiou a turma a calcular a probabilidade de o produto das
faces ser maior ou igual a 18, quando jogados o par de dados viciados.
Qual alternativa apresenta o resultado da probabilidade solicitada?
Qual alternativa apresenta o resultado da probabilidade solicitada?
Q3711312
Matemática
Uma professora de Matemática está trabalhando conceitos relacionados à distância entre dois pontos no plano cartesiano.
Ela percebeu, em conversas com os estudantes, que boa parte mora nos arredores da escola e vem de carro ou de transporte
público. Além disso, a maioria deles não faz atividade física de forma regular e se movimenta pouco durante o dia. Nesse contexto,
ela lhes apresentou o seguinte problema: “Uma pesquisa apontou que uma pessoa que caminha pelo menos 4 mil passos por
dia, o equivalente a pouco mais de 3 km por dia, ganha um benefício que é o aumento da expectativa de vida. Com base nessa
afirmação, escolha um trajeto que ligue sua casa à escola e que satisfaça o indicado pela pesquisa”. Uma estudante, em vez de
apresentar a rota em um mapa, utilizou um plano cartesiano e marcou com pontos os locais de interesse no bairro (por exemplo:
lojas, estabelecimentos e outros). A unidade de medida que ela usou foi o quilômetro.
Para simplificar o modelo, a professora pediu à estudante que considerasse a distância entre dois locais como o segmento de reta que os liga. Qual rota atende à exigência de percorrer mais de 3 km diariamente?
Para simplificar o modelo, a professora pediu à estudante que considerasse a distância entre dois locais como o segmento de reta que os liga. Qual rota atende à exigência de percorrer mais de 3 km diariamente?
Q3711311
Matemática
Uma empresa de telefonia tem o objetivo de construir uma torre de transmissão de celulares para melhor atender a três prédios públicos. As localizações desses prédios estão representadas em um plano cartesiano com as seguintes coordenadas:
• escola municipal: coordenada (4, 7),
• posto de saúde: coordenada (1, 2),
• biblioteca pública: coordenada (9, 3).
Nessa situação, a equipe técnica da empresa precisa determinar as coordenadas para a instalação da torre, de modo que ela seja equidistante dos três prédios. Qual conceito deve ser utilizado para encontrar as coordenadas do ponto de instalação?
Q3711310
Matemática
Os quiocos vivem no nordeste de Angola e fazem desenhos na areia, conhecidos no idioma local por Sona. Um mestre Sona
tem a habilidade de fazer seus desenhos sem retirar o dedo da areia até o fechamento da linha que está traçando. Além disso,
ele sabe quantas linhas fechadas haverá antes mesmo de começar a desenhar, apenas observando o número de filas e colunas
pertencentes a uma rede retangular de pontos. Para executar o desenho, começa-se um traçado com um ângulo de 45° em
relação à horizontal e, ao chegar a um lado do retângulo, faz-se uma curva sob um ângulo de 90° para continuar a desenhar
a linha. Assim que uma linha retorna ao ponto inicial, entende-se que foi fechada. Caso existam pontos que ainda não foram
contornados, uma outra linha se inicia até que todos os pontos estejam contornados. A figura representa corpos de leoas de
diferentes tamanhos criados por um mestre Sona.
GERDES, P. Vivendo a Matemática: desenhos da África. São Paulo: Scipione, 1990 (adaptado).
Uma professora fez a seguinte pergunta aos estudantes: “Caso vocês fossem mestres Sona, quantas linhas fechadas haveria num corpo de leoa para uma rede retangular de pontos com 6 filas e 9 colunas?”. Diferentes conjecturas foram feitas e, dentre elas, a que representa o conhecimento do povo quioco expresso nos desenhos na areia é:
GERDES, P. Vivendo a Matemática: desenhos da África. São Paulo: Scipione, 1990 (adaptado).
Uma professora fez a seguinte pergunta aos estudantes: “Caso vocês fossem mestres Sona, quantas linhas fechadas haveria num corpo de leoa para uma rede retangular de pontos com 6 filas e 9 colunas?”. Diferentes conjecturas foram feitas e, dentre elas, a que representa o conhecimento do povo quioco expresso nos desenhos na areia é:
Q3711309
Matemática
Um professor de Matemática de Ensino Médio solicitou aos seus estudantes o esboço, com o uso de software, do gráfico de
duas funções contínuas: f1, tal que f1(0) = 1 e f1(1) = - 1 e f2, tal que f2(0) = 1 e f2(1) = 1. O professor selecionou e apresentou
à turma alguns dos gráficos elaborados e solicitou que, com base nas observações, enunciassem condições para a existência
ou não de raízes.
Quatro estudantes apresentaram suas conjecturas, explicitadas nas alternativas. Está correto quem afirmou que
Quatro estudantes apresentaram suas conjecturas, explicitadas nas alternativas. Está correto quem afirmou que
Q3711308
Algoritmos e Estrutura de Dados
Nos sistemas de geolocalização utilizados por aplicativos que usam algoritmos computacionais, são aplicados modelos matemáticos
para calcular a melhor rota entre dois pontos. Esses modelos consideram variáveis como o tempo estimado, a distância, o
fluxo em tempo real e as condições da via. A seleção da melhor rota pode variar de acordo com os critérios utilizados: menor
distância, menor tempo, menor consumo de combustível ou até mesmo menor emissão de poluentes. Assim, diferentes modelos
matemáticos são utilizados, dependendo do objetivo social ou econômico priorizado.
Com base na análise desses modelos, qual modelo matemático é adequado para explicar o cálculo da melhor rota em um sistema de geolocalização com foco na rapidez de deslocamento?
Com base na análise desses modelos, qual modelo matemático é adequado para explicar o cálculo da melhor rota em um sistema de geolocalização com foco na rapidez de deslocamento?
Q3711307
Matemática
Acompanhando o intervalo de uma escola de Ensino Médio, uma professora de Matemática escutou alguns estudantes
conversando sobre a perda de um celular.
Atenta ao diálogo, a professora resolveu conciliar a curiosidade dos estudantes com o estudo de conceitos de geometria. Para concretizar a sua ideia, ela propôs uma tarefa de Modelagem Matemática para os estudantes na qual eles pudessem analisar de forma crítica uma situação envolvendo a ciência e a tecnologia. O problema era o seguinte:
O problema do celular perdido
Um celular perdido precisa ser encontrado. Felizmente, três torres de celular detectam o sinal. Um sistema de coordenadas cartesianas usado pela cidade indica a localização das torres. As medidas estão em metro. O centro da cidade está localizado na origem e as torres nos pontos A, B e C.
• A torre de celular A está na posição (-300, 300).
• A torre de celular B está na posição (300, 300).
• A torre de celular C está na posição (500, -200).
A torre A detecta o sinal a uma distância de 447,2 metros. A torre B detecta o sinal a uma distância de 282,8 metros. A torre C detecta o sinal a uma distância de 500 metros.
Analisando as informações, qual modelo permite determinar o ponto de localização do celular perdido?
Atenta ao diálogo, a professora resolveu conciliar a curiosidade dos estudantes com o estudo de conceitos de geometria. Para concretizar a sua ideia, ela propôs uma tarefa de Modelagem Matemática para os estudantes na qual eles pudessem analisar de forma crítica uma situação envolvendo a ciência e a tecnologia. O problema era o seguinte:
O problema do celular perdido
Um celular perdido precisa ser encontrado. Felizmente, três torres de celular detectam o sinal. Um sistema de coordenadas cartesianas usado pela cidade indica a localização das torres. As medidas estão em metro. O centro da cidade está localizado na origem e as torres nos pontos A, B e C.
• A torre de celular A está na posição (-300, 300).
• A torre de celular B está na posição (300, 300).
• A torre de celular C está na posição (500, -200).
A torre A detecta o sinal a uma distância de 447,2 metros. A torre B detecta o sinal a uma distância de 282,8 metros. A torre C detecta o sinal a uma distância de 500 metros.
Analisando as informações, qual modelo permite determinar o ponto de localização do celular perdido?
Q3711306
Pedagogia
Texto associado
Ball, Thames e Phelps (2008) conjecturam que (1) o conhecimento do conteúdo poderia ser subdividido em CCK (conhecimento comum do conteúdo) e SCK (conhecimento especializado do conteúdo); (2) o conhecimento pedagógico do conteúdo poderia ser subdividido em KCS (conhecimento do conteúdo e de estudantes) e KCT (conhecimento do conteúdo e de ensino) (Shulman, 1986).
Em síntese, eles definem: reconhecer uma resposta errada é um conhecimento comum do conteúdo (CCK); dimensionar rapidamente a natureza de um erro, especialmente aqueles que não são familiares, é um conhecimento especializado do conteúdo (SCK); ter familiaridade com os erros comuns e saber por que diversos estudantes os cometem é um conhecimento de conteúdo e de estudantes (KCS); selecionar uma abordagem de ensino que seja eficiente para superar certas dificuldades e/ou explorar certos aspectos de um conteúdo é um conhecimento do conteúdo e de seu ensino (KCT).
Os professores sabem resolver o exercício e sabem que tal resposta é incorreta, mas ensinar envolve mais do que identificar respostas incorretas. O professor deve ser capaz de procurar as fontes do erro. Efetivamente, a análise de erros é uma prática comum entre os matemáticos no decorrer de seu próprio trabalho; essa tarefa, no ensino, difere somente pelo fato de que enfoca os erros produzidos pelos estudantes.
Nesse contexto, foi feita uma pesquisa com base na pergunta: Quantos pares (x, y) de números reais existem, tais que x + y = xy = 
?
? Uma resposta obtida e analisada por pesquisadores em um estudo foi a seguinte:
RIBEIRO, A. J. Equação e conhecimento matemático para o ensino: relações e potencialidades para a
Educação Matemática. Boletim de Educação Matemática (BOLEMA), 2012 (adaptado).
CURY, H. N.; RIBEIRO, A. J.; MÜLLER, T. J. Explorando erros na resolução de equações: um caminho para a formação do
professor de Matemática. Union-Revista Ibero-americana de Educación Matemática, n. 28, 2011 (adaptado).
A avaliação somativa tem por finalidade identificar o que os estudantes aprenderam a partir de suas respostas, mensurar e estabelecer uma pontuação. A avaliação formativa utiliza as produções e o progresso processual dos estudantes para regular o ensino e a aprendizagem.
Considerando aspectos relacionados à avaliação e, de acordo com o texto, podemos afirmar que
Q3711305
Pedagogia
Texto associado
Ball, Thames e Phelps (2008) conjecturam que (1) o conhecimento do conteúdo poderia ser subdividido em CCK (conhecimento comum do conteúdo) e SCK (conhecimento especializado do conteúdo); (2) o conhecimento pedagógico do conteúdo poderia ser subdividido em KCS (conhecimento do conteúdo e de estudantes) e KCT (conhecimento do conteúdo e de ensino) (Shulman, 1986).
Em síntese, eles definem: reconhecer uma resposta errada é um conhecimento comum do conteúdo (CCK); dimensionar rapidamente a natureza de um erro, especialmente aqueles que não são familiares, é um conhecimento especializado do conteúdo (SCK); ter familiaridade com os erros comuns e saber por que diversos estudantes os cometem é um conhecimento de conteúdo e de estudantes (KCS); selecionar uma abordagem de ensino que seja eficiente para superar certas dificuldades e/ou explorar certos aspectos de um conteúdo é um conhecimento do conteúdo e de seu ensino (KCT).
Os professores sabem resolver o exercício e sabem que tal resposta é incorreta, mas ensinar envolve mais do que identificar respostas incorretas. O professor deve ser capaz de procurar as fontes do erro. Efetivamente, a análise de erros é uma prática comum entre os matemáticos no decorrer de seu próprio trabalho; essa tarefa, no ensino, difere somente pelo fato de que enfoca os erros produzidos pelos estudantes.
Nesse contexto, foi feita uma pesquisa com base na pergunta: Quantos pares (x, y) de números reais existem, tais que x + y = xy = ?
? Uma resposta obtida e analisada por pesquisadores em um estudo foi a seguinte:
RIBEIRO, A. J. Equação e conhecimento matemático para o ensino: relações e potencialidades para a
Educação Matemática. Boletim de Educação Matemática (BOLEMA), 2012 (adaptado).
CURY, H. N.; RIBEIRO, A. J.; MÜLLER, T. J. Explorando erros na resolução de equações: um caminho para a formação do
professor de Matemática. Union-Revista Ibero-americana de Educación Matemática, n. 28, 2011 (adaptado).
Considere que um professor da licenciatura em Matemática observou que alguns estudantes do 1º período do curso cometeram
erros iguais ou similares como aqueles apresentados no texto. Em consequência, desenvolveu algumas estratégias pedagógicas
para que os estudantes superassem essas dificuldades. As duas principais estratégias foram:
1. Revisitou estruturas fundamentais da resolução de equações do primeiro grau e sistemas lineares. Utilizou recursos lúdicos, associando à ideia da balança e apresentou uma abordagem mais fundamentada, sem utilizar jargões como “corta e corta” ou “jogue para o outro lado trocando o sinal”.
2. Utilizando ideias de geometria analítica, apresentou uma abordagem gráfica da resolução de sistemas utilizando recursos computacionais. Representou, para finalizar, as superfícies z = x + y; w = xy e v =
para que os estudantes visualizassem o seu comportamento geométrico e suas possíveis curvas de interseções.
De acordo com as ideias de Ball, Thames e Phelps (2008), as estratégias docentes descritas no texto estão associadas, predominantemente, ao
1. Revisitou estruturas fundamentais da resolução de equações do primeiro grau e sistemas lineares. Utilizou recursos lúdicos, associando à ideia da balança e apresentou uma abordagem mais fundamentada, sem utilizar jargões como “corta e corta” ou “jogue para o outro lado trocando o sinal”.
2. Utilizando ideias de geometria analítica, apresentou uma abordagem gráfica da resolução de sistemas utilizando recursos computacionais. Representou, para finalizar, as superfícies z = x + y; w = xy e v =
para que os estudantes visualizassem o seu comportamento geométrico e suas possíveis curvas de interseções. De acordo com as ideias de Ball, Thames e Phelps (2008), as estratégias docentes descritas no texto estão associadas, predominantemente, ao
Q3711304
Matemática
Texto associado
Ball, Thames e Phelps (2008) conjecturam que (1) o conhecimento do conteúdo poderia ser subdividido em CCK (conhecimento comum do conteúdo) e SCK (conhecimento especializado do conteúdo); (2) o conhecimento pedagógico do conteúdo poderia ser subdividido em KCS (conhecimento do conteúdo e de estudantes) e KCT (conhecimento do conteúdo e de ensino) (Shulman, 1986).
Em síntese, eles definem: reconhecer uma resposta errada é um conhecimento comum do conteúdo (CCK); dimensionar rapidamente a natureza de um erro, especialmente aqueles que não são familiares, é um conhecimento especializado do conteúdo (SCK); ter familiaridade com os erros comuns e saber por que diversos estudantes os cometem é um conhecimento de conteúdo e de estudantes (KCS); selecionar uma abordagem de ensino que seja eficiente para superar certas dificuldades e/ou explorar certos aspectos de um conteúdo é um conhecimento do conteúdo e de seu ensino (KCT).
Os professores sabem resolver o exercício e sabem que tal resposta é incorreta, mas ensinar envolve mais do que identificar respostas incorretas. O professor deve ser capaz de procurar as fontes do erro. Efetivamente, a análise de erros é uma prática comum entre os matemáticos no decorrer de seu próprio trabalho; essa tarefa, no ensino, difere somente pelo fato de que enfoca os erros produzidos pelos estudantes.
Nesse contexto, foi feita uma pesquisa com base na pergunta: Quantos pares (x, y) de números reais existem, tais que x + y = xy = ?
? Uma resposta obtida e analisada por pesquisadores em um estudo foi a seguinte:
RIBEIRO, A. J. Equação e conhecimento matemático para o ensino: relações e potencialidades para a
Educação Matemática. Boletim de Educação Matemática (BOLEMA), 2012 (adaptado).
CURY, H. N.; RIBEIRO, A. J.; MÜLLER, T. J. Explorando erros na resolução de equações: um caminho para a formação do
professor de Matemática. Union-Revista Ibero-americana de Educación Matemática, n. 28, 2011 (adaptado).
Em relação à solução apresentada para a pergunta da pesquisa, o conhecimento comum de conteúdo, mais especificamente o
conhecimento comum de Matemática, permite ao professor identificar que
Q3711303
Pedagogia
Para uma educação inclusiva e eficaz, destaca-se o uso do plano educacional individualizado (PEI), construído entre escola
e família, como ferramenta essencial. O PEI permite flexibilizar o currículo, acompanhar o desenvolvimento do estudante e
prevenir dificuldades emocionais e sociais. No contexto do atendimento educacional especializado (AEE), o PEI pode promover
a inclusão efetiva, o desenvolvimento integral, a autonomia e a participação ativa, fortalecendo a parceria entre escola, família
e comunidade.
BAPTISTA, L. R. A.; CARDOSO, F. S. Guia prático para elaboração de plano educacional individualizado para altas habilidades ou superdotação. Disponível em: http://app.uff.br. Acesso em: 23 maio 2025 (adaptado).
Um estudante do 7º ano, identificado com altas habilidades/superdotação (AH/SD), demonstra elevado interesse por Matemática e facilidade com conceitos de frações. A professora, em diálogo com a família e com apoio do AEE, elabora um PEI que respeita o perfil do estudante e valoriza sua autonomia e criatividade.
Qual estratégia está alinhada com os princípios do PEI e da Educação Matemática Inclusiva, conforme descritos no texto?
BAPTISTA, L. R. A.; CARDOSO, F. S. Guia prático para elaboração de plano educacional individualizado para altas habilidades ou superdotação. Disponível em: http://app.uff.br. Acesso em: 23 maio 2025 (adaptado).
Um estudante do 7º ano, identificado com altas habilidades/superdotação (AH/SD), demonstra elevado interesse por Matemática e facilidade com conceitos de frações. A professora, em diálogo com a família e com apoio do AEE, elabora um PEI que respeita o perfil do estudante e valoriza sua autonomia e criatividade.
Qual estratégia está alinhada com os princípios do PEI e da Educação Matemática Inclusiva, conforme descritos no texto?
Q3711302
Matemática
Texto associado
Uma professora de Matemática propôs aos estudantes o estudo do Teorema do Resto Chinês. Os estudantes então pesquisaram
e encontraram a seguinte informação:
“Se alguém conhece os restos da divisão euclidiana de um inteiro n por vários inteiros, então pode determinar o resto da divisão
de n pelo produto desses inteiros, sob a condição de que sejam primos entre si, dois a dois. Por exemplo, se soubermos que
o resto de n dividido por 3 é 2, o resto de n dividido por 5 é 3 e o resto de n dividido por 7 é 2, então, sem saber o valor de n,
podemos determinar que o resto de n dividido por 105 (o produto de 3, 5 e 7) é 23”.
Na aula, os estudantes mencionaram que não haviam entendido como o número 23 foi obtido. A professora, então, respondeu
à dúvida. Enunciou o Teorema e, em seguida, apresentou o procedimento convencional para determinar o valor de n que,
resumidamente, consiste em:
1. calcular o produto m = 3 · 5 · 7 = 105;
2. obter M1 = 
= 35, M2 = 
= 21 e M3 = 
= 15;
= 35, M2 = = 21 e M3 = = 15;3. calcular os inversos de M1 (mod 3), M2 (mod 5) e M3 (mod 7), respectivamente denotados por N1, N2 e N3;
4. calcular o resto da divisão de 2 · M1 ⋅ N1 + 3 ⋅ M2 ⋅ N2 + 2 ⋅ M3 · N3 por 105.
Para o item 3, ela apresentou o seguinte detalhamento: “Para calcular o inverso de um número inteiro M (mod L), em que L é
um inteiro positivo com mdc(M, L) = 1:
I.
Calcule o resto da divisão de M por L, chame-o de R.
II. Encontre, entre todos os possíveis restos não nulos de uma divisão por L, o único que, multiplicado por R, resulte num
número da forma k ⋅ L + 1, para algum inteiro k.
O número encontrado no item II é o inverso de M (mod L)”
Os estudantes calcularam os inversos, obtiveram N1 = 2, N2 = 1, N3 = 1 e conferiram as outras contas.
Com base no procedimento apresentado pela professora, os estudantes analisaram a informação que encontraram, de que o
resto da divisão de n por 105 é 23, e concluíram que está
Q3711301
Pedagogia
Os estudantes com deficiência visual têm no tato seu principal meio de percepção e compreensão do mundo. O uso de recursos
concretos com texturas variadas, formas bem definidas e dimensões adequadas torna-se essencial para que esses estudantes
possam desenvolver habilidades matemáticas e cognitivas. Assim, o professor precisa planejar estratégias que valorizem a
experiência sensorial e promovam a aprendizagem significativa, possibilitando que o ensino da Matemática seja realmente
acessível a todos.
GENZ, F. K.; SILVA, L. D.; SILVA, D. F. O ensino de matemática e a deficiência visual: uma proposta para o ensino dos números complexos. Caminhos da Educação Matemática em Revista, n. 2, 2021 (adaptado).
Considerando os princípios do Desenho Universal para a Aprendizagem (DUA) e os fundamentos da Educação Matemática Inclusiva, qual alternativa representa estratégias de um plano de aula coerente com essas abordagens?
GENZ, F. K.; SILVA, L. D.; SILVA, D. F. O ensino de matemática e a deficiência visual: uma proposta para o ensino dos números complexos. Caminhos da Educação Matemática em Revista, n. 2, 2021 (adaptado).
Considerando os princípios do Desenho Universal para a Aprendizagem (DUA) e os fundamentos da Educação Matemática Inclusiva, qual alternativa representa estratégias de um plano de aula coerente com essas abordagens?
Q3711300
Matemática
Em uma aula de Matemática, o professor divide os estudantes em quatro grupos para fazer uma roda de conversa sobre
sequências.
Ele apresenta a sequência an =
, na qual n pertence ao conjunto dos números inteiros positivos. Logo após, pergunta aos grupos qual é o comportamento dessa sequência à medida que o valor de n aumenta.
Cada grupo discute e compartilha sua resposta:
Grupo 1: a sequência diverge porque os sinais de an se alternam.
Grupo 2: a sequência tende para o infinito, pois seus termos ficam cada vez maiores.
Grupo 3: a sequência converge para zero, pois seus termos ficam cada vez menores e se aproximam cada vez mais de zero.
Grupo 4: a sequência tem como limite 1, pois a1 = 1 e esse resultado determina os demais valores da sequência.
Qual grupo apresenta a conjectura correta sobre o comportamento dessa sequência?
Ele apresenta a sequência an =
, na qual n pertence ao conjunto dos números inteiros positivos. Logo após, pergunta aos grupos qual é o comportamento dessa sequência à medida que o valor de n aumenta. Cada grupo discute e compartilha sua resposta:
Grupo 1: a sequência diverge porque os sinais de an se alternam.
Grupo 2: a sequência tende para o infinito, pois seus termos ficam cada vez maiores.
Grupo 3: a sequência converge para zero, pois seus termos ficam cada vez menores e se aproximam cada vez mais de zero.
Grupo 4: a sequência tem como limite 1, pois a1 = 1 e esse resultado determina os demais valores da sequência.
Qual grupo apresenta a conjectura correta sobre o comportamento dessa sequência?
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