A função densidade de probabilidade da variável bidimensional contínua (X,Y) é dada por:

Onde K é a constante adequada para tornar f(x,y) uma função densidade de probabilidade.

Nessas condições, P(X < 1/2, Y < 1/2) é igual a

A função de probabilidade conjunta das variáveis X e Y é dada por:

Nessas condições, a esperança condicional de X dado que Y é igual a 2, denotada por E(X Y = 2) é igual, a

A função de distribuição acumulada da variável aleatória X é dada por:

.

Nessas condições, a variância de X é igual a

Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme contínua com média igual a 4 e variância igual a 12. Nessas condições, P(X < 7) é igual a

Em um determinado órgão público o tempo X, em horas, entre duas solicitações consecutivas, feitas pelo departamento de recursos humanos, pode ser considerado como tendo distribuição exponencial com média de 5 horas. Nessas condições, a probabilidade do tempo entre duas solicitações estar compreendido entre 2 horas e 6 horas é, em %, igual a

Dados:

e^{− 0,2} = 0,819;

e^{− 0,4} = 0,670;

e^−1,2 = 0,301.

Atenção: Para responder às questões de números 50 a 53 use as informações dadas abaixo. Se Z tem distribuição normal padrão, então:

P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,28) = 0,90; P(Z < 1,5) = 0,933; P(Z < 1,8) = 0,964.

O diâmetro de uma peça é uma variável aleatória X, com distribuição normal com média μ (cm) e variância igual a 2,25(cm)².

Seja (X₁, X₂, ... X_n) uma amostra aleatória simples da variável aleatória X que representa os pesos de crianças recém-nascidas do sexo feminino em determinada população. Sabe-se que:

I. X tem distribuição normal com média μ (kg) e desvio padrão 1 kg.

II. é a média amostral da amostra considerada.

III. A população de onde essa amostra foi extraída é infinita.

Nessas condições, o valor de n para que a diferença, em valor absoluto, entre e μ seja, no máximo, 0,2 kg, com probabilidade de 92,8%, é igual a

Suponha que os funcionários de um determinado órgão público realizem uma tarefa em duas etapas. Sejam X1 e X2, respectivamente, os tempos para a realização das etapas 1 e 2. Sabe-se que:
I. X₁ e X₂ são variáveis aleatórias independentes.
II. X₁ tem distribuição normal com média igual a 2 horas e desvio padrão de 10 minutos.
III. X₂ tem distribuição normal com média igual a 3 horas e variância de 300 (minutos)².
Nessas condições, a probabilidade de que um funcionário selecionado ao acaso leve, no mínimo, 270 minutos e, no máximo, 320 minutos, para a realização da tarefa é, em %, igual a 

Atenção: Para responder às questões de números 50 a 53 use as informações dadas abaixo. Se Z tem distribuição normal padrão, então:

P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,28) = 0,90; P(Z < 1,5) = 0,933; P(Z < 1,8) = 0,964.

O diâmetro de uma peça é uma variável aleatória X, com distribuição normal com média μ (cm) e variância igual a 2,25(cm)².

Sabe-se que 90% dos valores de X são superiores a 5 cm. Nessas condições, o valor de μ, em cm, é igual a

Atenção: Para responder às questões de números 50 a 53 use as informações dadas abaixo.

Se Z tem distribuição normal padrão, então:

P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,28) = 0,90; P(Z < 1,5) = 0,933; P(Z < 1,8) = 0,964.

O diâmetro de uma peça é uma variável aleatória X, com distribuição normal com média μ (cm) e variância igual a 2,25(cm)².

Ao vender a peça, o lucro obtido pelo fabricante é de 50 reais se X se distanciar de sua média por, no máximo, 1,5 cm e, é de −10 reais caso contrário. Nessas condições, o lucro esperado por peça do fabricante é, em reais, igual a

Um dado não viciado, cujas faces são numeradas de 1 a 6, é lançado e considera-se como sucesso a ocorrência de face superior a 4. Nessas condições, a probabilidade de serem necessários 5 lançamentos do dado para a obtenção de exatamente 3 sucessos é igual a

Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias independentes com distribuição geométrica com médias dadas, respectivamente, por 3 e 4. Considere que X e Y representam o número de repetições do experimento até a ocorrência do primeiro sucesso. Nessas condições, a probabilidade denotada por P(X ≤ 2,Y = 3) é igual a

Uma pessoa coloca um anúncio em um site de vendas com o objetivo de vender seu automóvel. Suponha que o número de consultas que essa pessoa recebe por semana (7 dias) como resposta ao anúncio seja uma variável aleatória com distribuição de Poisson com média igual a 3,5. Nessas condições, a probabilidade dessa pessoa receber, pelo menos, 2 consultas em um determinado dia é, em %, igual a

Dados:

e^{− 0,5} = 0,61;

e^{− 3,5} = 0,03

Sabe-se que a função geratriz de momentos da variável aleatória X é dada por [0,1e^t + 0,9]¹² . Nestas condições, a variância da variável aleatória Y = −2X + 3 é igual a

Considere as seguintes afirmações abaixo relativas a Séries Temporais.

I. Para o modelo Z_t = 1 + a_t − 0,73a_{t − 1}, onde a_t é o ruído branco de média zero e variância 2, a previsão de origem t e horizonte 1 é 1 − 0,73a_t .

II. Se a uma série temporal for ajustado um modelo ARIMA(1,0,0) com parâmetro φ = 0,5 , a previsão dessa série de origem t e horizonte 2 é igual ao produto do valor da série no instante t por 0,25.

III. Se f(k) é função de autocorrelação de um MA(1) que tem parâmetro θ = −0,4, então 0 < f(1) < 0,35.

IV. Uma técnica de diagnóstico para verificar se um modelo de série temporal representa adequadamente aos dados é o teste do periodograma alisado.

Está correto o que se afirma APENAS em

O seguinte modelo foi ajustado a uma série temporal de vendas de certo produto:

Z_t = 3 + 0,25Z_t−1 − 0,4a_t−1 + a_t , t = 1, 2, ...,

onde a_t é o ruído branco de média zero e variância 1.

Relativamente a esse modelo, considere as seguintes afirmações:

I. É um modelo estacionário de média 3.

II. É um modelo cuja função de autocorrelação parcial é dominada por decaimento exponencial após o lag 1.

III. É um modelo invertível.

IV. É um modelo ARIMA (1,0,1).

Está correto o que se afirma APENAS em

Os processos que chegaram a um determinado Tribunal Regional Eleitoral, no primeiro semestre de 2014, foram encaminhados para o parecer de dois analistas: M e N, sendo que M e N analisaram 60% e 40% dos processos, respectivamente. Sabe-se também que 10% e 5% dos processos analisados por M e N, respectivamente, foram rejeitados por problemas na documentação. Se um processo for escolhido ao acaso, dentre todos os recebidos no primeiro semestre de 2014, a probabilidade de que tenha sido encaminhado para M, sabendo-se que foi rejeitado, é, em %, igual a

Atenção: Para responder à  questão, considere as informações e a tabela abaixo.


      Uma pesquisa eleitoral foi realizada com uma amostra de 1000 eleitores com o objetivo de estudar a influência do salário mensal do eleitor, apresentada em número de salários mínimos (SM), na preferência por dois candidatos presidenciais. Os resultados obtidos foram os seguintes: 


                                                           Preferência

          Renda Anual em SM     candidato A     candidato B    indecisos      Total 

                     3 ---- 5                      90                      180                  30              300

                     5 ---- 11                    220                     160                   20              400

                   11 ---- 17                    150                     140                   10               300

                        Total                       460                      480                   60            1000 


Duas pessoas serão selecionadas ao acaso e com reposição dentre os 1000 eleitores. A probabilidade de exatamente uma ter salário mensal na faixa de salário mínimos 11 17 e preferir o candidato A é, em %, igual a 

Atenção: Para responder à questão, considere as informações e a tabela abaixo.

Uma pesquisa eleitoral foi realizada com uma amostra de 1000 eleitores com o objetivo de estudar a influência do salário mensal do eleitor, apresentada em número de salários mínimos (SM), na preferência por dois candidatos presidenciais. Os resultados obtidos foram os seguintes:

Preferência

Renda Anual em SM candidato A candidato B indecisos Total

3 5 90 180 30 300

5 11 220 160 20 400

11 17 150 140 10 300

Total 460 480 60 1000

Uma pessoa será selecionada ao acaso deste grupo de 1000 eleitores. A probabilidade de ela ter salário mensal inferior a 11 salários mínimos ou votar no candidato B é, em %, igual a

O objetivo de um estudo consiste em testar a hipótese de igualdade das médias de um atributo de 3 grupos X, Y e Z, independentes, cada um contendo uma amostra aleatória de tamanho 9. Pelo quadro de análise de variância, o valor da estatística F (F calculado) utilizado para a verificação da igualdade das médias é igual a 19. Se a fonte de variação entre grupos apresenta um valor igual a 95, então a fonte de variação total é igual a

O gerente de uma loja utiliza a equação de regressão ln = 0,105 + 0,015t para estimar a probabilidade (p) de ocorrer a venda de um determinado equipamento em função do tempo (t) diário, em minutos, em que o equipamento fica exposto na vitrine da loja. Dado que o equipamento fica exposto na vitrine durante 20 minutos, em um dia, a probabilidade de ocorrência de venda do equipamento é, em %, de

Dado:

ln (1,5) = 0,405

Observação:

ln é o logarítmo neperiano, tal que ln (e) = 1, e os parâmetros da equação foram obtidos pelo método dos mínimos quadrados.