Todos os anos uma pequena escola particular aplica uma prova para selecionar novos estudantes bolsistas. O número de alunos inscritos é uma variável aleatória de Poisson com média 100. A direção avaliou a capacidade das salas da escola e decidiu que se a quantidade de candidatos inscritos este ano for maior ou igual a 117, eles irão alocar um novo espaço para a aplicação das provas. Mas se a quantidade de candidatos inscritos for menor que 117, todas as provas poderão ser aplicadas na escola.

(Informações adicionais: usar correção de continuidade no TCL. z_α = c : α é a área a esquerda do valor crítico c. z_0.05 = –1.64 z_0.1 = –1.96.)

Qual a probabilidade da escola não ter que arcar com a despesa de alugar um espaço extra para a aplicação das provas?

Um agricultor desconfia que a variabilidade da quantidade total de leite produzida diariamente por suas vacas foi alterada após ele mudar a ração que utilizava para alimentar os animais de sua fazenda. Considere que X é uma variável aleatória que representa a quantidade de leite produzida diariamente pelas vacas desse agricultor. Ele coletou uma amostra aleatória simples de tamanho 50 durante certo período de tempo e através dessa amostra ele descobriu que X segue uma distribuição normal com média de 300 litros de leite por dia e desvio-padrão 10.

(Informações adicionais: X² a,gl : α = área à esquerda do valor crítico e gl = graus de liberdade.)

Assinale a alternativa que apresenta um intervalo com 95% de confiança para o desvio-padrão populacional.

Sobre a abordagem bayesiana para estimar um parâmetro θ, analise as afirmativas a seguir.

I. Uma distribuição de probabilidade é atribuída para esse parâmetro.

II. O amostrador de Gibbs e Metropolis-Hastings é utilizado para gerar os dados que serão utilizados na distribuição de verossimilhança.

III. A distribuição beta é conjugada das distribuições binomial, geométrica, Poisson e binomial negativa.

IV. A definição da distribuição priori pode ser totalmente subjetiva.

Estão corretas apenas as afirmativas

Sobre as propriedades dos estimadores pontuais, analise as afirmativas a seguir.

I. A Desigualdade de Cramér-Rao se aplica somente a variáveis contínuas.

II. Um estimador viciado é sempre assintoticamente não viciado.

III. Se é um estimador não viciado, então o Erro Quadrático Médio é simplesmente Var().

Está(ão) correta(s) apenas a(s) afirmativa(s)

Um teste de hipótese será realizado para testar a duração do efeito de um medicamento que foi recentemente modificado em um laboratório. O tempo de duração do efeito do medicamento é uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média de 20 horas e desvio-padrão de 5 horas, mas desconfia-se que o tempo de duração do efeito tenha ficado menor após a modificação do medicamento. As hipóteses são:

• H₀ : μ = 20 horas; e,

• H₁ : μ < 20 horas.

Considerando que não houve alteração na variância e a = 0.05, qual deveria ser o tamanho mínimo da amostra para detectar, com 90% de probabilidade, que a média real é 15 horas?

(Informações adicionais: z_0.01 = –2.32 z_0.025 = –1.96 z_0.05 = –1.64 z_0.1 = –1.28.)

Sobre o Teste de Kruskal-Wallis, analise as afirmativas a seguir.

I. Em sua fórmula são utilizados os postos das amostras estudadas.

II. Não exige que as amostras individuais sigam a distribuição normal, mas todas as amostras combinadas devem seguir a distribuição normal.

III. É utilizado para comparar a variância de várias populações.

IV. É um teste unilateral à direita.

V. Sua estatística de teste H pode ser aproximada por uma distribuição Qui-quadrado com k-1 graus de liberdade, sendo k a quantidade de amostras.

Estão corretas apenas as afirmativas

O tempo gasto por uma impressora para imprimir uma página é uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média de 10 segundos e desvio-padrão de 3 segundos. Após um problema técnico, foi coletada uma amostra aleatória de 36 impressões para averiguar se houve um aumento no tempo gasto para realizar a impressão. Considere que a variância se manteve a mesma e, ainda, 2% de significância. Calcule o poder do teste se a verdadeira média de tempo é 12 segundos.

(Informações adicionais: z_0.01 = –2.32 z_0.02 = –2.05 z_0.03 = –1.88 z_0.04 = –1.75 z_0.05 = –1.64.)

Seja f(x, y) uma função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y, sua função de densidade de probabilidade é:

Qual a probabilidade de P(X < Y)?

Seja F_X a função de distribuição cumulativa da variável aleatória X e F_Y a função de distribuição cumulativa da variável aleatória Y. Sobre as propriedades da função de distribuição cumulativa, analise as afirmativas a seguir.

I. F_X é contínua à direita.

II. F_X é não decrescente, isto é, F_X(a) ≤ F_X(b) sempre que a < b, ∀ a,b, ∈ |R.

III. lim_{x→ – ∞} F_X (x) = 0 e lim_{x→ ∞} F_X (x) = 1.

IV. Se g(x) = y, então F_Y(y) = F_X(g^–1 (y)).

Estão corretas as afirmativas

Se x é uma variável aleatória contínua, então f_x(x) pode ser da forma:

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)

Calcule o valor de c para que f(x, y) seja uma função de densidade de probabilidade conjunta de X e Y.

Em seguida, calcule a função de densidade de probabilidade condicional de X dado Y = y, onde 0 < y < 3.

Afirma-se que:

I. O valor de c é 1/48.

II. A função de densidade de probabilidade condicional pedida é

Assinale a alternativa correta sobre as afirmativas I e II: