Questões de Concurso

Um dado comum tem seis faces equiprováveis numeradas de 1 a 6. Um jogador lança três dados comuns e independentes — um vermelho, um verde e um azul — e anota a soma dos três números obtidos.
Sabendo-se que o total é maior ou igual a 16, qual é a probabilidade condicional de que os dados verde e azul marquem o mesmo número?

Considere um exame para detectar o uso de uma droga. Suponha que, para um usuário da droga, o exame tenha probabilidade 0,95 de dar, corretamente, positivo. Suponha que, para um não usuário, o exame tenha probabilidade 0,9 de dar, corretamente, negativo.
Para um certo indivíduo, a probabilidade de que ele use a droga é estimada, antes do exame, como sendo de 0,8. Após a aplicação do exame, o resultado foi positivo. Seja P a probabilidade que se deve estimar, com os dados acima, de que o resultado do exame esteja errado, ou seja, de que o resultado seja um falso positivo.
Quanto vale, aproximadamente, P? 

Sejam Y e Z variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, assumindo valores inteiros.
Considere as seguintes informações:

* Prob(Y + Z > 4) = 0;
* Prob(Y + Z > -3) = 1;
* Prob(YZ = 0) = 0;
* E(Z) = 0;
* E(Y² + Z²) = 16/5.

Quanto vale Prob(Y² + Z² > 16/5)? 

Para fenômenos cujo resultado é um indicativo da ocorrência ou não de um fato ou escolha, utiliza-se a modelagem de variáveis discretas. Um exemplo é o estudo da participação ou não da mulher no mercado de trabalho. A variável dependente a ser modelada é derivada de um processo de escolha, realizada com base na comparação das opções disponíveis, em que o indivíduo escolhe a opção com maior utilidade/benefício. O modelo é construído a partir de uma variável auxiliar chamada latente y*. A variável y* não é observada e reflete esta utilidade/benefício, definindo o processo de escolha. Se temos uma escolha y binária

y = 1 se y* > 0
y = 0 se y* ≤ 0,
a variável latente é escrita como:
 y* = x*β + ε, 

onde x e β são vetores de variáveis explicativas e de parâmetros, respectivamente, e ε é o termo de erro não observado.
Dessa forma, conclui-se que

Um biólogo estuda a distribuição de animais de uma determinada espécie. Ele verifica que, se divide a região estudada em quadrados disjuntos de 100 m de lado, o número de animais por quadrado é descrito por uma variável aleatória X. Assim, dado um quadrado na região e um inteiro não negativo n, a probabilidade de que haja exatamente n animais da espécie estudada no quadrado é dada pela fórmula Prob(X = n) = n/2⁽ⁿ⁺¹⁾.

Quanto vale o valor esperado E(X), ou seja, qual é o número médio de animais da espécie estudada por quadrado de lado 100m?