O desvio-padrão de uma população é conhecido e igual a 20 unidades. Se uma amostra de cem elementos, retirada dessa população, forneceu uma média de X_Média = 115,8, pode-se afirmar que a média dessa população é inferior a 120 unidades, ao nível de 5% de significância, testando a Hipótese:

H₀ , µ = 120

H₁ , µ < 120

Assinale a opção correta, baseada nos dados acima.

A probabilidade de haver atraso em um voo em um determinado aeroporto em uma hora é dada pela seguinte função de densidade de probabilidade f(x):

                    

Pede-se para determinar o valor de c para a função de densidade probabilidade f(x) acima e indicar qual a probabilidade de P(0<x<1).

Considere o seguinte processo auto regressivo de segunda ordem: y_t = a₀ + a₂ y_t-2 + ε_t ., onde | a₂ | < 1. A partir desta equação, de segunda ordem, encontre E_t-2y_t e E_t-1y_t.

Uma distribuição Binomial pode ser aproximada por uma distribuição de Poisson, quando a probabilidade do evento é pequena de ocorrer e a população considerada é relativamente grande. Assuma esta aproximação para o problema descrito a seguir. Considere que passageiros chegam a um aeroporto a uma taxa média de três passageiros por segundo. Pede-se para determinar, com uma boa aproximação, qual a probabilidade (P) de que não mais de dois passageiros chegarão ao aeroporto em um intervalo de um segundo (caso seja necessário, use o valor de e=exp(1) = 2,72).

Uma população se encontra dividida em três estratos, com tamanhos, respectivamente, N₁ = 64, N₂ = 96 e N₃ = 48. Ao se realizar uma amostragem estratificada proporcional, oito elementos da amostra foram retirados do primeiro estrato. Indique qual o número total de elementos da amostra.

Há duas rotas para ir da cidade A para a cidade B, e duas outras rotas para ir da cidade B para a cidade C. Cada uma dessas quatro rotas pode estar bloqueada com probabilidade q, independentemente uma das outras. Determine a probabilidade de haver uma rota aberta da cidade A a cidade B dado que não há nenhuma rota aberta da cidade A para a cidade C. Essa probabilidade condicional pedida é representada por:

P(A tem rota aberta até B | A não tem rota aberta até C)

Em um determinado aeroporto, podem ocorrer dois eventos A e B, em que o evento A é a ocorrência de mau tempo e o evento B é a ocorrência de cancelamento de voos. Estes dois eventos A e B possuem as seguintes probabilidades: P(A)=4/5 e P(B)=1/3. A partir destes dados, pede-se para determinar os limites de P(A ∩ B).

Em um determinado município, 70% da população é favorável a um certo projeto. Se uma amostra aleatória de cinco pessoas dessa população for selecionada, então a probabilidade de exatamente três pessoas serem favoráveis ao projeto é igual a

Na tabela a seguir, estão listados os possíveis retornos de um projeto de investimentos e as respectivas probabilidades de ocorrências desses retornos:

O retorno médio esperado do Projeto A é igual a

Considere que, num determinado setor da ANAC, três pessoas, A, B e C, são responsáveis diariamente pelos relatórios das atividades desenvolvidas. Dos últimos 200 relatórios, A foi o responsável por 50, B foi responsável por 70 e C foi responsável por 80. Em 6% das vezes, o relatório de A apresenta algum tipo de erro, de B em 10% das vezes e de C em 5% das vezes. Seleciona-se ao acaso um relatório desses 200 e verifica-se que apresenta algum tipo de erro, então a probabilidade de ter sido elaborado por B é igual a

Os valores a seguir representam uma amostra

3 3 1 5 4 6 2 4 8

Então, a variância dessa amostra é igual a

Os valores a seguir representam a quantidade de aviões que decolaram por hora durante as 10 primeiras horas de certo dia.

33 34 27 30 28 26 34 23 14 31

Logo, levando em consideração somente essas 10 horas, pode-se afirmar corretamente que

Dado que o volume de refrigerante num copo enchido por uma máquina post-mix, varia uniformemente entre 270 ml e 300 ml, qual é o volume médio esperado num copo qualquer e a probabilidade de se obter um copo com menos de 290 ml, respectivamente?

A probabilidade de ter saído a bola grená na primeira extração, sabendo-se que saiu bola verde na segunda extração é de:

Seja a matriz de covariâncias ∑ de ordem 3x3 associada ao vetor aleatório X’ = [X₁ X₂ X₃], sendo que essa matriz tem 3 pares de autovalor-autovetor (λ₁, e₁), (λ₂, e₂), (λ₃, e₃). Os autovalores e autovetores são:

λ₁ = 6,0 e e₁' = [-0,385 0,925 0]

λ₂ = 2,0 e e₂' = [0 0 1]

λ₃ = 1,0 e e₃' = [0,925 0,385 0]

Então, é possível afirmar que

Suponha que um estatístico necessita tomar uma amostra aleatória de uma população finita com tamanho N de modo a poder estimar um parâmetro θ com precisão d e com confiança de (1 - α) Seja z o escore normal padronizado correspondente ao nível de confiança, ou seja, a área até 1 - α/2 e admitindo por trabalhos anteriores que o desvio padrão populacional é conhecido e igual a σ, o tamanho da amostra é

Seja a amostra aleatória de tamanho n, [x₁, x₂, x₃, ... , x_n ], tomada de uma distribuição de Poisson com parâmetro θ, na busca do Estimador de Verossimilhança desse parâmetro θ, o logaritmo da Função de Verossimilhança é

O erro médio quadrático é uma medida do desempenho de um estimador de um parâmetro θ ou de uma função desse parâmetro, q(θ). A definição do erro médio quadrático é R(θ ,T) = E[T(x) - q(θ)]² , onde T(x) é o estimador de q(θ). Então, é possível afirmar que

Suponha que você quer comparar o consumo de combustível de carros americanos (1), coreanos (2) e japoneses (3) e obteve os resultados de um delineamento com modelo Y_ij = μ + α_i + ε_ij , onde i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, ..., n com os parâmetros: μ média geral, α_i  i = 1, 2, 3 efeito do nível i do fator (origem do carro) e ε_ij o erro aleatório da observação do consumo do carro j no nível i. Então, para testar a hipótese nula  H₀ : μ₁ = μ₂ = μ₃ (na média, os carros de origem diferentes são iguais no consumo), a técnica estatística adequada e as condições necessárias à sua aplicação são

Considere o processo autorregressivo de 1ª Ordem, ou seja, AR(1) modelado por Z_t = ∅₁Z_t-1 + a_t onde Z_t é a observação temporal no instante t, ∅₁ é um parâmetro e a_t é o ruído branco em correspondência. Então, a sua função de autocorrelação FAC e a sua função de autocorrelação parcial FACP são, respectivamente: