Considere uma população P₁ formada pela renda, em unidades monetárias (u.m.), dos 100 indivíduos que são sócios de um clube. Seja x_i a renda, x_i > 0, do sócio i.
Dados:  = 2.662.400 (u. m)² e Coeficiente de variação de P₁ igual a 20%.
Decide-se excluir de P₁ um total de 20 sócios que possuem renda igual à média de P₁, formando uma nova população P₂ com tamanho 80. O módulo da diferença, em (u.m.)², entre as variâncias de P₁ e P₂ é de

Analisando uma curva de frequência de uma distribuição estatística, observa-se que ela:
I. é unimodal. II. apresenta a moda menor que a mediana e a mediana menor que a média. III. possui os dados da distribuição fortemente concentrados em torno da moda.
Então, essa distribuição

Seja a tabela de frequências relativas abaixo correspondendo à distribuição dos salários dos funcionários sem nível superior, lotados em um órgão público. Para o segundo e terceiro intervalos de classes não foram fornecidas as respectivas frequências (na tabela, denotadas por x e y, respectivamente).


Utilizando o método da interpolação linear, obteve-se o valor de R$ 3.900,00 para a mediana (Md) dos salários. O valor da média aritmética (Me) foi obtido considerando que todos os valores incluídos em um certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. A expressão (3Md − 2Me) apresenta, em R$, um valor igual a

De um histograma e uma tabela de frequências absolutas, elaborados para analisar a distribuição dos salários dos empregados em uma empresa, obtém-se a informação que 24 empregados ganham salários com valores pertencentes ao intervalo (2.000; 4.000], em reais, que apresenta uma densidade de frequência de 0,75 × 10⁻⁴(R$)⁻¹.
Densidade de frequência de um intervalo é o resultado da divisão da respectiva frequência relativa pela amplitude deste intervalo. Em um intervalo do histograma que está sendo analisado, com uma amplitude de R$ 3.000,00 e uma densidade de frequência de 1 × 10⁻⁴(R$)⁻¹, tem-se que o correspondente número de empregados é igual a

Em séries temporais, as oscilações aproximadamente regulares em torno da tendência

A distribuição quiquadrado

Em um grupo de pessoas encontramos as seguintes idades: 20, 30, 50, 39, 20, 25, 41, 47, 36, 45, 41, 52, 18, 41. A mediana e a moda são, respectivamente,

Analisando um gráfico de dispersão referente a 10 pares de observações (t, Y_t ) com t = 1, 2, 3, ... , 10, optou-se por utilizar o modelo linear Y_t = α + βt + ε_t com o objetivo de se prever a variável Y, que representa o faturamento anual de uma empresa em milhões de reais, no ano (2007 + t). Os parâmetros α e β são desconhecidos e ε_t é o erro aleatório com as respectivas hipóteses do modelo de regressão linear simples. As estimativas de α e β (a e b, respectivamente) foram obtidas por meio do método dos mínimos quadrados com base nos dados dos 10 pares de observações citados. Se a = 2 e a soma dos faturamentos dos 10 dados observados foi de 64 milhões de reais, então, pela equação da reta obtida, a previsão do faturamento para 2020 é, em milhões de reais, de

Os preços médios anuais de venda desde 2010 de um certo produto no mercado permitiram montar a tabela abaixo, em que foram considerados como índices os preços relativos em porcentagens, adotando o preço médio anual de venda do produto no ano de 2012 como básico.

O preço médio anual de venda deste produto em 2011 foi de R$ 135,00. Isto significa que o módulo da diferença entre os preços médios anuais de venda correspondentes aos anos de 2010 e 2017 foi de

No modelo ARMA(1,1), ou seja, y_t = 10 + 0,2 y_{t − 1} + ε_t + 0,8 ε_{t − 1}, em que ε_t é um ruído branco de média nula e variância unitária, obtém-se que a variância de y_t é igual a

Um sistema consiste no atendimento da fila de indivíduos em um guichê com único atendente. Supõe-se que tanto as chegadas na fila quanto o atendimento dos indivíduos são marcovianos (Modelo M/M/1) e a população de tamanho infinito. Conforme um levantamento, em média 10 indivíduos chegam na fila por hora e o atendente demora uma média de 5 minutos para atender 1 indivíduo. A probabilidade de que exista pelo menos 1 indivíduo no sistema é de

Uma análise de mercado com relação às preferências do consumidor referente ao consumo dos sabonetes marcas M e N é realizada por uma empresa mensalmente por meio de experimentos. O diretor comercial da empresa observou que em um experimento 85% dos que consumiram M em um experimento anterior continuaram a consumir M no novo experimento e 60% dos que consumiram N no experimento anterior passaram a consumir M no novo experimento. Considere a matriz de transição abaixo e que este processo esteja sendo realizado ao longo do tempo.

O único vetor de probabilidade fixo t desta matriz é

Uma população formada por um atributo X referente a 400 trabalhadores de um certo ramo de atividade é dividida em 3 estratos. O quadro abaixo apresenta a composição dos estratos com os respectivos desvios padrões do estrato.

Para o desenvolvimento de um estudo, decide-se tomar uma amostra aleatória de 80 trabalhadores, estratificada, com reposição e com a partilha proporcional aos tamanhos dos estratos. Seja o estimador da média da população em que é a média amostral do estrato i. Assim, a variância de é igual a

Considere que em um país a variável L representa o lucro, em unidades monetárias, de uma empresa em um determinado ano e a variável X ≥ 0 os investimentos realizados pela empresa, em unidades monetárias, no mesmo ano. Um modelo de regressão linear correspondente à equação L_i = α + βX_i + ε_i foi adotado pela empresa com o objetivo de se prever L em função de X. L_i representa o lucro da empresa no ano i ( i = 1, 2, 3 ...) e X_i os investimentos da empresa em i. Os parâmetros α e β são desconhecidos e εi é o erro aleatório com as respectivas hipóteses do modelo de regressão linear simples. As estimativas de α e β foram obtidas por meio do método dos mínimos quadrados com base nos primeiros 10 pares de observações ( X_i , L_i ).

Dados:

Com base na equação da reta obtida por meio do método dos mínimos quadrados e no quadro de análise de variância considerado para testar a existência de uma relação linear entre L e X, é correto afirmar que

Sabe-se que 64 pessoas escolhidas ao acaso foram consultadas sobre qual o refrigerante de sua preferência entre duas marcas X e Y. Foi registrado por um sinal “+” os que preferem X e por um sinal “−” os que preferem Y. Verificou-se que o número de sinais “+” superou o número de sinais “−” em 26. Decidiu-se aplicar o teste dos sinais para averiguar se a proporção da população de sinal “mais” (p) é igual a 50% a um nível de significância de 5%. Foram então formuladas as hipóteses H₀: p = 50% (hipótese nula) e H₁: p ≠ 50% (hipótese alternativa). Com aproximação da distribuição binomial pela normal e desconsiderando a correção de continuidade, foi apurado para a tomada da decisão o valor do escore reduzido k para comparação com o valor crítico da curva normal padrão (Z) tal que P(|Z| ≤ 1,96) = 95%. O valor de k é tal que

Em uma população correspondente a uma variável aleatória X, normalmente distribuída com variância unitária e média μ, é extraída uma amostra aleatória, com reposição, de tamanho 3, ou seja, (X₁, X₂, X₃). Sabendo que um estimador utilizado para a média μ desta população é E = (2 m₂ − 20 m)X₁ + (5 m + 9)X₂ − (m − 16)X₃ (com m sendo um parâmetro real) é não viesado, verifica-se que entre os possíveis estimadores formados por meio de E, o mais eficiente apresenta uma variância igual a

Em virtude de não se conhecer a função de densidade de uma variável aleatória X, com média 22, obteve-se um intervalo de confiança (20, 24), sabendo-se que existe a probabilidade mínima de 84% de X pertencer a este intervalo conforme o Teorema de Tchebichev. Considerando este mesmo teorema, obtém-se que a probabilidade de X não pertencer ao intervalo (22 − K, 22 + K) é no máximo 6,25%. A amplitude deste último intervalo é de

A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é dada por

Sendo K > 2, então a variância de X é igual a

Nos registros dos últimos anos, verifica-se que o número médio de pessoas atendidas em uma repartição pública por dia é igual a 20. Deseja-se testar a hipótese de que o número médio de pessoas atendidas por dia (μ) em outra repartição independente da primeira é o mesmo que o verificado na primeira repartição utilizando o teste t de Student. Foram formuladas então as seguintes hipóteses: H₀: μ = 20 (hipótese nula) e H₁: μ ≠ 20 (hipótese alternativa). Com base em 16 dias escolhidos aleatoriamente na segunda repartição obteve-se uma média igual a 22 pessoas atendidas por dia com um desvio padrão igual a 5. Se, tanto para a primeira repartição como para a segunda, a distribuição da população formada pelo número de pessoas atendidas é normalmente distribuída e de tamanho infinito, obtém-se que o valor da estatística t calculado para comparação com o t tabelado da distribuição t de Student com os respectivos graus de liberdade apresenta valor de

Acredita-se que a variância (σ²) de uma população, normalmente distribuída e de tamanho infinito, seja igual a 3,6. Para verificar se esta variância é inferior a 3,6, a um nível de significância α, foram formuladas as hipóteses H₀: σ² = 3,6 (hipótese nula) e H₁: σ² < 3,6 (hipótese alternativa) utilizando o teste qui-quadrado. Uma amostra aleatória de tamanho 10 foi extraída da população obtendo-se uma variância amostral igual a 1,5.

Dados:

Valores críticos qui-quadrado

A conclusão é que ao nível de significância de