Com o objetivo de utilizar as suas aeronaves de um modo mais eficiente, uma determinada empresa aérea deseja aplicar um mesmo modelo de otimização para as suas diferentes rotas. Entretanto, esse mesmo modelo só funcionará, principalmente, se as variâncias dessas diferentes rotas puderem ser consideradas as mesmas. Para simplificar, a empresa aérea decidiu comparar apenas duas das suas rotas, que possuem os seguintes dados anuais:

De acordo com os dados acima, foi realizado o seguinte teste de Hipóteses para um teste de significância α = 5%:

H₀ : σ₁² =σ₂²

H₁ : σ₁² ≠ σ₂²

^{Além disso, os tamanhos das amostras usadas para se obter as médias e desvios-padrões acima foram de 25 e 30 para as amostras 1 e 2, respectivamente. Aplicando o teste de Hipótese, pode-se então concluir que:}

Um modelo de regressão muito usado para realizar previsões é o modelo ARMA (Autoregressive Moving Average). Em particular, o modelo AR(2) foi desenvolvido para fazer previsões a respeito do movimento de passageiros em uma rota de uma determinada linha aérea, obtendo-se:

                          y_t = 1,2 y_t-1 – 0,19 y_t-2 + ε_t

Sabendo que os valores reais das demandas nos tempos t–1 e t–2 foram de 11300 e 12250 passageiros, respectivamente, calcule os valores dos resíduos para os tempos t e t+1, assumindo uma previsão estática.

Em um hangar de um aeroporto muito movimentado, os intervalos de chegadas das encomendas, tanto nacionais quanto internacionais, chegam de acordo com distribuições exponenciais. Além disso, esses intervalos entre chegadas ocorrem a uma média de µ₁ = 20 segundos, sejam essas encomendas nacionais ou internacionais. A partir desses dados, deseja-se determinar qual a probabilidade de que, em um intervalo de um minuto, nenhuma encomenda nacional chegará ao hangar (P(Xnacional=0)),e, também, nenhuma encomenda internacional chegará ao hangar (P(Xinternacional=0)). Sabe-se ainda que as probabilidades das encomendas serem classificadas como nacionais e internacionais são 2/3 e 1/3, respectivamente. (Caso seja necessário, use o valor de e=exp(1) = 2,72).

Suponha que a proporção de itens defeituosos em um grande lote de peças seja 0,1. Indique qual é o menor número de itens que deve ser retirado do lote para que a probabilidade seja de pelo menos 0,99 e que a proporção de itens defeituosos na amostra seja menor que 0,13.

Ao se realizar um estudo a respeito das falhas, decorrentes em um determinado tipo de avião, observou-se que a distribuição dessas falhas representada por X é normalmente distribuída com média μ = 5 e variância σ² = 1,5. Devido aos altos custos incorridos na realização desta análise, observou-se que o estudo poderia ser generalizado, assumindo que os outros cinco tipos de aviões possuem a mesma distribuição normal. Desse modo, ao se agregar todos os seis tipos de aviões, pode-se concluir que a variável Y obtida desta agregação terá a seguinte média e desvio-padrão (μ_y e σ_y ):

Em um determinado dia da semana, passageiros que chegam ao aeroporto de Brasília se dirigem ou para a cidade de São Paulo ou para a cidade do Rio de Janeiro. Observou-se ainda que esses dois processos de chegadas possuem uma distribuição exponencial. Dos passageiros que se dirigem a São Paulo, observa-se que, na média, a cada 6 segundos chega um passageiro no aeroporto, e dos que se dirigem ao Rio de Janeiro, na média, a cada 12 segundos chega um passageiro no aeroporto. Pode-se assim dizer que a taxa total de chegadas dos passageiros por hora que se dirigem para essas duas cidades, a partir do aeroporto de Brasília, ocorre a uma taxa λ dada por:

Com frequência é importante transformar modelos não lineares em modelos lineares. Sendo assim, o seguinte modelo exponencial, no qual as variáveis são x e, z1 , z2 e, z3 e os demais termos b1 , b2 e b3 , são parâmetros dados:

                         


Uma possível linearização do modelo dado é fazer t=log(x) e, yi = log(zi ), para i=1,2,3. Após a aplicação dessa linearização, obtém-se a seguinte equação:

Um engenheiro aeronáutico está estudando como a quantidade de produção de gases (y) na turbina depende da temperatura das reações (x₁ ) e do tempo da reação (x₂ ). Este mesmo engenheiro desenvolveu os seguintes modelos de regressão:

y = 100 + 2 x₁ + 4x₂ (Modelo 1)

y = 95 + 1,5 x₁ + 3 x₂ + 2 x₁ x₂ (Modelo 2)

Ambos os modelos foram construídos para a faixa 0,5 ≤ x₂ ≤ 10. Encontre a variação esperada da produção de gases para uma variação unitária na temperatura x₁ tanto para o modelo 1 quanto para o modelo 2, quando x₂ =8.

Uma empresa aérea observou a seguinte relação entre os seus custos (y) e o número de tripulantes (x) necessários para atender a uma determinada rota:

A partir dos dados acima, aplicando o método dos mínimos quadrados, ajuste uma reta aos dados e, a partir desta reta, determine qual é o custo para 16 unidades de tripulantes.

Considere a seguinte equação estocástica de segunda ordem: y_t = 1,5 y_t-1 – 0,5 y_t-2 + ε_t . Encontre a solução homogênea para essa equação estocástica de segunda ordem dada.

Sejam Z₁ e Z₂ duas variáveis randômicas normais unitárias. Sejam ainda X₁ e X₂ variáveis randômicas que são obtidas do seguinte modo:

X₁ =1,5 Z₁ +1,2 Z₂ + 3

X₂ =1,3 Z₁ +0,9 Z₂ + 5

Pode-se então dizer que as variáveis randômicas X₁ e X₂ têm distribuições normais multivariadas com as seguintes médias e variâncias:

O desvio-padrão de uma população é conhecido e igual a 20 unidades. Se uma amostra de cem elementos, retirada dessa população, forneceu uma média de X_Média = 115,8, pode-se afirmar que a média dessa população é inferior a 120 unidades, ao nível de 5% de significância, testando a Hipótese:

H₀ , µ = 120

H₁ , µ < 120

Assinale a opção correta, baseada nos dados acima.

Ao se determinar a taxa de chegadas de passageiros preferenciais (λ₁ ) e passageiros não preferenciais (λ₂ ) no guichê de uma companhia aérea, observou-se que a taxa de chegadas dos passageiros preferenciais é igual a dois passageiros por minuto (λ₁ = 2) e a taxa de chegadas dos passageiros não preferenciais é igual a três passageiros por minuto (λ₂ = 3). Além disso, observou-se que estas duas chegadas ocorrem de acordo com um processo de Poisson. Indique qual a probabilidade de que exatamente cinco passageiros, P(X=5), contando os passageiros preferenciais e os não preferenciais, chegarão ao guichê no intervalo de um minuto (caso seja necessário, use o valor de e=exp(1) = 2,72).

A probabilidade de haver atraso em um voo em um determinado aeroporto em uma hora é dada pela seguinte função de densidade de probabilidade f(x):

                    

Pede-se para determinar o valor de c para a função de densidade probabilidade f(x) acima e indicar qual a probabilidade de P(0<x<1).

Considere o seguinte processo auto regressivo de segunda ordem: y_t = a₀ + a₂ y_t-2 + ε_t ., onde | a₂ | < 1. A partir desta equação, de segunda ordem, encontre E_t-2y_t e E_t-1y_t.

Uma distribuição Binomial pode ser aproximada por uma distribuição de Poisson, quando a probabilidade do evento é pequena de ocorrer e a população considerada é relativamente grande. Assuma esta aproximação para o problema descrito a seguir. Considere que passageiros chegam a um aeroporto a uma taxa média de três passageiros por segundo. Pede-se para determinar, com uma boa aproximação, qual a probabilidade (P) de que não mais de dois passageiros chegarão ao aeroporto em um intervalo de um segundo (caso seja necessário, use o valor de e=exp(1) = 2,72).

Um estudo foi realizado para investigar a resistência do solo (y) ao cisalhamento quando relacionado à profundidade (x₁ ), dada em centímetros, e ao conteúdo de umidade (x₂ ) dado em %. Dez observações foram realizadas, e as seguintes grandezas foram obtidas: n=10, ∑x_i1=221, ∑x_i2=533, ∑x_i1²=5300,8; ∑x_i2²=29316 ∑y_i =2033, e ∑x_i1²x_i2=13217, ∑x_i1y_i =45557; ∑x_i2y_i =107298,7; ∑y_i =369497,3. Pede-se para estabelecer as equações de mínimos quadrados para o modelo: Y=α₀ +α₁ x₁ +α₂ x₂ +ε.

Após a coleta de dados, um software foi aplicado para calcular parâmetros numéricos de uma amostra de dados. Os resultados obtidos são mostrados na tabela a seguir:

Pede-se para determinar os dados que estão faltando acima, que são: N (tamanho da amostra), a Média e a Variância (S2) da respectiva amostra.

Um trabalho realizado para a análise de concreto apresentou dados a respeito da resistência à compressão, t, e à impermeabilidade intrínseca, w, de várias misturas e curas de concreto. Um sumário das grandezas é o seguinte: n=14, ∑t_i =43, ∑t_i² =157,42, ∑w_i =572, ∑w_i² =23530 e ∑t_i w_i =1697,80. Considere ainda que as duas variáveis estão relacionadas de acordo com um modelo de regressão linear simples. Calcule as estimativas de mínimos quadrados da inclinação e da interseção da reta para estas duas variáveis.

Uma população se encontra dividida em três estratos, com tamanhos, respectivamente, N₁ = 64, N₂ = 96 e N₃ = 48. Ao se realizar uma amostragem estratificada proporcional, oito elementos da amostra foram retirados do primeiro estrato. Indique qual o número total de elementos da amostra.