Questões de Concurso Público PND 2025 para MATEMÁTICA - Licenciatura
Foram encontradas 35 questões
Q3711277
Matemática
Texto associado
Biembengut defende que a Modelagem Matemática em aula deve ser organizada em três fases: interação, matematização e
significação-modelo, respectivamente, com o propósito de desenvolver o pensamento matemático em contextos reais.
Com base nesse fundamento teórico-metodológico do ensino, uma professora propôs a seguinte situação-problema aos
estudantes: após o rompimento da barragem em Brumadinho (MG), em 2019, resíduos contendo metais pesados, como o chumbo,
dispersaram-se por toda a bacia do Rio Paraopeba. Com o objetivo de avaliar os impactos ambientais dessa contaminação,
cientistas recorreram a imagens de satélite para mapear as áreas atingidas. Em uma dessas regiões, representada na figura
pelo triângulo retângulo ABC, em escala 1 : 20, cuja hipotenusa e um dos catetos têm suas medidas, respectivamente, 25 cm
e 20 cm, estimou-se uma concentração superficial média de chumbo de 120 mg/m2.
BIEMBENGUT, M. S. 30 anos de Modelagem Matemática na educação brasileira: das propostas primeiras às propostas atuais.
Alexandria, n. 2, 1 jul. 2009 (adaptado).
Disponível em: google.com. Acesso em: 21 maio 2025 (adaptado).
De acordo com os dados laboratoriais, com o tempo e o uso de agentes descontaminantes, a concentração de chumbo no solo
decaía de forma proporcional à quantidade ainda presente, comportamento típico de processos de decaimento exponencial,
dado pelo modelo C(t) = C0 ⋅ e−kt, em que:
• C(t) representa a quantidade total de chumbo (mg) no tempo t (ano);
• C0 é a concentração inicial total de chumbo (mg);
• k = 0,1 é a taxa de decaimento.
Qual função C(t) expressa corretamente a concentração de chumbo ao longo do tempo?
• C(t) representa a quantidade total de chumbo (mg) no tempo t (ano);
• C0 é a concentração inicial total de chumbo (mg);
• k = 0,1 é a taxa de decaimento.
Qual função C(t) expressa corretamente a concentração de chumbo ao longo do tempo?
Q3711282
Matemática
Texto associado
A inteligência artificial (IA) tem desempenhado um papel cada
vez mais importante na segurança de dados. Ela pode ser
usada para proteger os dados no armazenamento, no acesso e
durante a transmissão, com sistemas avançados de autenticação
e criptografia. A função básica da criptografia é a cifragem de
uma mensagem (texto claro) em outra mensagem (texto cifrado)
de difícil compreensão, caso seja interceptada por entidades
não autorizadas.
Uma professora propôs a estudantes do Ensino Médio que
decifrassem uma mensagem criptografada usando matrizes.
Ela apresentou o seguinte processo de codificação:
1. Transformar as letras em números, com base na ordem inversa do alfabeto: a = 26, b = 25, c = 24, d = 23, e = 22, ..., v = 5, w = 4, x = 3, y = 2, z = 1, espaço = 0.
2. Organizar os números da mensagem numa matriz M, de ordem 3 × 6.
3. Para codificar a mensagem, foi escolhida uma matriz-chave K =
que, em sequência, foi multiplicada pela matriz original M, obtendo-se a matriz
codificada C =
Qual processo os estudantes devem seguir para decifrar a mensagem?
Ela apresentou o seguinte processo de codificação:
1. Transformar as letras em números, com base na ordem inversa do alfabeto: a = 26, b = 25, c = 24, d = 23, e = 22, ..., v = 5, w = 4, x = 3, y = 2, z = 1, espaço = 0.
2. Organizar os números da mensagem numa matriz M, de ordem 3 × 6.
3. Para codificar a mensagem, foi escolhida uma matriz-chave K =
que, em sequência, foi multiplicada pela matriz original M, obtendo-se a matriz codificada C =
Qual processo os estudantes devem seguir para decifrar a mensagem?
Q3711283
Matemática
Texto associado
Diante do assoreamento do riacho que passava ao lado de uma escola, a professora de Matemática e o professor de Biologia desenvolveram um projeto interdisciplinar para acompanhar os efeitos desse fenômeno na flora da região.
Uma das atividades propostas pela professora de Matemática foi analisar o crescimento das árvores das margens do rio. Para isso, propôs à turma da 1ª série do Ensino Médio que medisse as alturas das árvores.
Os estudantes adotaram o seguinte procedimento: mediram a sombra da árvore e, no mesmo momento, mediram o tamanho da sombra de um estudante. Na sala, realizaram a medida da altura desse estudante e, aplicando-se a regra de três, determinaram a altura da árvore.
Realizando essas medições ao longo do ano, os estudantes criaram tabelas com as alturas das árvores, mês a mês. Com essas informações, concluíram que o crescimento das árvores estava abaixo do padrão esperado para aquela espécie. Posteriormente, utilizando também as informações coletadas na aula de Biologia, confirmaram que a escassez de água estava impactando a flora da região.
A professora de Matemática propôs aos estudantes que realizassem um segundo procedimento para medir as alturas das árvores, que fosse essencialmente distinto, do ponto de vista matemático, daquele que eles já haviam desenvolvido.
Assinale a alternativa que indica um procedimento que atende a essa solicitação da professora.
Q3711285
Matemática
Texto associado
Em um cenário de constantes transformações, a educação deve
acompanhar os avanços tecnológicos e pedagógicos. O uso de
tecnologias digitais, como o software GeoGebra, pode tornar o
ensino da Matemática mais interativo, dinâmico e investigativo.
Esse recurso permite explorar representações de vetores no
plano e no espaço, além de conceitos, como o produto vetorial
e sua relação com áreas de paralelogramos. Ao articular
álgebra e geometria, simultaneamente, o GeoGebra possibilita
diferentes formas de pensar e resolver problemas, aproximando
os estudantes de uma aprendizagem ativa e conectada às
transformações da sociedade contemporânea.
Durante uma aula de geometria analítica, um professor propôs
a dois estudantes do Ensino Médio com altas habilidades a
construção, no GeoGebra, de dois vetores: u = (2, 1, 0) e
v = (−1, 3, 0), com origem no ponto (0, 0, 0).
A atividade tinha como objetivo explorar visualmente a área do paralelogramo formado pelos vetores e verificar a coerência do valor obtido graficamente com o módulo do produto vetorial entre u e v.
Assinale a alternativa correta com respeito à área do paralelogramo.
A atividade tinha como objetivo explorar visualmente a área do paralelogramo formado pelos vetores e verificar a coerência do valor obtido graficamente com o módulo do produto vetorial entre u e v.
Assinale a alternativa correta com respeito à área do paralelogramo.
Q3711286
Matemática
Texto associado
Em um cenário de constantes transformações, a educação deve
acompanhar os avanços tecnológicos e pedagógicos. O uso de
tecnologias digitais, como o software GeoGebra, pode tornar o
ensino da Matemática mais interativo, dinâmico e investigativo.
Esse recurso permite explorar representações de vetores no
plano e no espaço, além de conceitos, como o produto vetorial
e sua relação com áreas de paralelogramos. Ao articular
álgebra e geometria, simultaneamente, o GeoGebra possibilita
diferentes formas de pensar e resolver problemas, aproximando
os estudantes de uma aprendizagem ativa e conectada às
transformações da sociedade contemporânea.
Durante uma atividade conjunta com o professor de Física, dois
estudantes da 3ª série do Ensino Médio analisaram situações
envolvendo vetores no plano e no espaço e apresentaram
suas conclusões.
Estudante A: Se dois vetores no plano não são múltiplos escalares um do outro, então não são paralelos. Isso também acontece no espaço.
Estudante B: No espaço, para que três vetores não sejam coplanares, basta que dois a dois não sejam paralelos.
Quanto à validade das conclusões desses estudantes,
Estudante A: Se dois vetores no plano não são múltiplos escalares um do outro, então não são paralelos. Isso também acontece no espaço.
Estudante B: No espaço, para que três vetores não sejam coplanares, basta que dois a dois não sejam paralelos.
Quanto à validade das conclusões desses estudantes,
Q3711287
Matemática
A modelagem do problema de geração de lixo visa estimar
quantidades futuras de descarte em uma dada região. Nesse
contexto, consideram-se dados históricos da quantidade de
lixo gerada e o crescimento populacional, que seguem modelos
específicos para esse fim.
Em um curso de formação docente, um professor de Matemática decide utilizar um modelo construído para esse problema em sua aula. Utilizando um software computacional, esboça os dados para o ano atual (t = 0) e a previsão obtida para t anos seguintes.
Com base nessas informações, qual é o ajuste de curva que modela o problema?
Em um curso de formação docente, um professor de Matemática decide utilizar um modelo construído para esse problema em sua aula. Utilizando um software computacional, esboça os dados para o ano atual (t = 0) e a previsão obtida para t anos seguintes.
Com base nessas informações, qual é o ajuste de curva que modela o problema?
Q3711288
Matemática
Como estratégia para explorar a ideia intuitiva de limites introduzida por Karl Weierstrass, pode-se utilizar o limite de sequências
e o método de Eudoxo-Arquimedes, também conhecido como o método da exaustão, o qual consiste na aproximação da área
desejada por meio da divisão da região em polígonos de áreas suficientemente pequenas.
Como ilustração, uma professora apresentou aos estudantes de licenciatura em Matemática as figuras das iterações no cálculo da área sob o gráfico da função
no intervalo [0 , 2].
Ela observou que a área da região desejada pode ser aproximada por uma soma de áreas de retângulos de mesma base e que a aproximação fica melhor à medida que essas bases ficam menores.
Nas figuras, as bases dos retângulos medem
:
Área aproximada sob a curva no intervalo [0, 2]: 1,6585
Método da exaustão para f (x) =, n = 10
Figura 1
Área aproximada sob a curva no intervalo [0, 2]: 1,6163
Método da exaustão para f (x) =, n = 50
Figura 2
Ao variar os valores de n, observa-se que a área desejada é obtida por meio do limite
1,6054 em que 
refere-se à área do retângulo com base 
e altura 
Qual alternativa expressa corretamente uma formalização para o cálculo da área desejada?
Como ilustração, uma professora apresentou aos estudantes de licenciatura em Matemática as figuras das iterações no cálculo da área sob o gráfico da função
no intervalo [0 , 2]. Ela observou que a área da região desejada pode ser aproximada por uma soma de áreas de retângulos de mesma base e que a aproximação fica melhor à medida que essas bases ficam menores.
Nas figuras, as bases dos retângulos medem
: Área aproximada sob a curva no intervalo [0, 2]: 1,6585
Método da exaustão para f (x) =
, n = 10 Figura 1
Área aproximada sob a curva no intervalo [0, 2]: 1,6163
Método da exaustão para f (x) =
, n = 50 Figura 2 Ao variar os valores de n, observa-se que a área desejada é obtida por meio do limite
1,6054 em que refere-se à área do retângulo com base e altura Qual alternativa expressa corretamente uma formalização para o cálculo da área desejada?
Q3711292
Matemática
Texto associado
Na pesquisa de Cury e Bisognin, foi apresentada a seguinte questão aos estudantes:
O valor de dois carros de mesmo preço, adicionado ao de uma moto, soma R$ 41 000,00. No entanto, o valor de duas dessas motos, adicionado ao de um carro do mesmo tipo, é de R$ 28 000,00. A diferença entre o valor do carro e o da moto, em real, é:
a) 5 000 b) 13 000 c) 18 000 d) 23 000 e) 41 000
Figura 1: Questão sobre carros e motos.
As autoras classificaram as resoluções dadas em quatro categorias, indicadas pelas letras A, B, C e D.
Categoria A: identificou que o problema poderia ser modelado por um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, corretamente expressas, resolveu o sistema e apresentou a resposta correta.
Categoria B: identificou que o problema poderia ser modelado por um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, corretamente expressas, resolveu o sistema, mas errou alguns detalhes e não apresentou a resposta correta.
Categoria C: identificou que o problema poderia ser modelado por um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, corretamente expressas, mas não resolveu o sistema.
Categoria D: não modelou o problema.
CURY, H. N.; BISOGNIN, E. Análise de soluções de um problema
representado por um sistema de equações.
Boletim de Educação Matemática (BOLEMA), n. 33, 2009 (adaptado).
Em seu plano de aula, uma professora de Matemática definiu como objetivo a ser alcançado pelos seus estudantes: “modelar e resolver um sistema de equações de duas incógnitas”. Após discutir a resolução de um sistema de equações, a docente apresentou o problema da pesquisa de Cury e Bisognin e, no momento da avaliação, ela utilizou as quatro categorias para verificar se o objetivo de aprendizagem traçado foi alcançado.
Um estudante não soube modelar a questão dos carros e
motos, Figura 3(a), e a professora pediu para a turma que
criasse enunciados para o modelo equivocado. Com base em
um dos enunciados criados, Figura 3(b), a turma representou
geometricamente a solução, Figura 3(c).
Figura 3: Investigação da turma.
CURY, H. N.; BISOGNIN, E. Análise de soluções de um problema representado por um sistema de equações. Boletim de Educação Matemática (BOLEMA), n. 33, 2009 (adaptado).
Diante da representação, qual justificativa adequada a professora e os estudantes podem dar ao responder se é possível determinar os preços únicos para cada um dos veículos?
Figura 3: Investigação da turma.
CURY, H. N.; BISOGNIN, E. Análise de soluções de um problema representado por um sistema de equações. Boletim de Educação Matemática (BOLEMA), n. 33, 2009 (adaptado).
Diante da representação, qual justificativa adequada a professora e os estudantes podem dar ao responder se é possível determinar os preços únicos para cada um dos veículos?
Q3711293
Matemática
Uma professora elaborou um plano de aula com o objetivo de identificar a representação algébrica de uma função trigonométrica
a partir de sua representação gráfica com o uso do GeoGebra. Ela construiu o gráfico de uma função, conforme a figura, definida
como uma combinação das funções seno e cosseno, apresentou algumas possibilidades para sua representação algébrica e
perguntou aos estudantes qual era a correta.
Gráfico representado pela professora no GeoGebra
Qual deve ser a resposta dos estudantes?
Gráfico representado pela professora no GeoGebra
Qual deve ser a resposta dos estudantes?
Q3711294
Matemática
Estudos relacionados à Análise de Erros apontam um caminho pedagógico que vai além de aplicar medidas paliativas.
A identificação e categorização dos erros cometidos pelos estudantes possibilitam adequar o planejamento de ensino para
corrigir os erros conceituais e procedimentais. Para que essa identificação ocorra, os docentes precisam assumir uma postura
investigativa e consciente sobre as soluções dos estudantes. Mesmo sendo constantemente delineado como pertencentes ao
estudante, muitas dessas variáveis identificadas como prováveis geradoras dos erros estavam associadas ao modelo de ensino
ou à postura pedagógica adotada pelo professor. No ensino de probabilidade, por exemplo, frequentemente professores
apresentam um “macete” que associa a palavra “ou”, encontrada no enunciado, à ideia de que a solução envolve uma simples
“adição de probabilidades”, gerando um dispositivo fácil e prático. No entanto, os estudantes deveriam ser alertados que esta
relação somente será satisfeita se os eventos forem mutuamente exclusivos.
VAZ, R. F. N. Por que errar ainda é tão errado? Algumas reflexões sobre o papel do erro no ensino e na avaliação de matemática. Revemop, v. 4, 2022 (adaptado).
Considerando uma moeda e um dado não viciados, qual alternativa é utilizada por um professor como um contraexemplo para apresentar aos estudantes que a probabilidade da união de dois eventos não é sempre igual à soma das probabilidades desses eventos?
VAZ, R. F. N. Por que errar ainda é tão errado? Algumas reflexões sobre o papel do erro no ensino e na avaliação de matemática. Revemop, v. 4, 2022 (adaptado).
Considerando uma moeda e um dado não viciados, qual alternativa é utilizada por um professor como um contraexemplo para apresentar aos estudantes que a probabilidade da união de dois eventos não é sempre igual à soma das probabilidades desses eventos?
Q3711295
Matemática
Texto associado
Considerando as dificuldades dos estudantes no processo de aprendizagem da resolução de equações do segundo grau, uma professora de Matemática resolveu utilizar-se da História da Matemática. Para isso, ela apresentou o trecho, a seguir, de um livro que indicava como Al-Khwarizmi resolvia esse tipo de equação.
Um quadrado mais dez raízes do mesmo é igual a trinta e nove. Qual é o quadrado?
A solução é a seguinte:
• Tome metade do número de raízes, obtendo cinco.
• Isto é multiplicado por si mesmo. O produto será vinte e cinco.
• Adicione isto a trinta e nove. A soma é sessenta e quatro.
• Tome então a raiz quadrada disso, que é igual a oito.
• Subtraia disto a metade do número de raízes que é cinco. A diferença é três.
• Esta é a raiz do quadrado procurado e o próprio quadrado é nove.
BEKKEN, O. Equações de Ahmes até Abel. Rio de Janeiro: Universidade Santa Úrsula, 1994.
Esses procedimentos algébricos eram justificados por Al-Khwarizmi pela técnica que ficou conhecida como “completar quadrados”.
Um estudante ilustrou esse procedimento com um desenho. Qual é a figura que representa a solução descrita?
Q3711296
Matemática
Texto associado
Considerando as dificuldades dos estudantes no processo de aprendizagem da resolução de equações do segundo grau, uma professora de Matemática resolveu utilizar-se da História da Matemática. Para isso, ela apresentou o trecho, a seguir, de um livro que indicava como Al-Khwarizmi resolvia esse tipo de equação.
Um quadrado mais dez raízes do mesmo é igual a trinta e nove. Qual é o quadrado?
A solução é a seguinte:
• Tome metade do número de raízes, obtendo cinco.
• Isto é multiplicado por si mesmo. O produto será vinte e cinco.
• Adicione isto a trinta e nove. A soma é sessenta e quatro.
• Tome então a raiz quadrada disso, que é igual a oito.
• Subtraia disto a metade do número de raízes que é cinco. A diferença é três.
• Esta é a raiz do quadrado procurado e o próprio quadrado é nove.
BEKKEN, O. Equações de Ahmes até Abel. Rio de Janeiro: Universidade Santa Úrsula, 1994.
Após conhecer a forma como Al-Khwarizmi resolvia as equações do segundo grau, um estudante disse:
“Professora! Eu fui acompanhando aqui e percebi que é muito diferente. A parte que fica dentro da raiz não é igual à fórmula que a senhora ensinou. Mas mesmo assim deu o mesmo resultado”.
Al-Khwarizmi queria encontrar os valores desconhecidos para uma equação, que na notação atual é representada por x2 + bx = c. Assim, o valor de x é determinado de acordo com o processo descrito pela seguinte expressão:
Q3711297
Matemática
Texto associado
De acordo com Skovsmose (2007), a Educação Matemática Crítica (EMC) tem como foco o meio social e político, buscando
uma prática democrática no processo de ensino e aprendizagem, por meio do qual o estudante é convidado a refletir sobre a
Matemática vivenciada em seu contexto, em uma perspectiva crítica. Uma possibilidade de tema para um projeto pedagógico
em EMC seria a matemática das casas de apostas.
Para entender a matemática das casas de apostas, primeiro é preciso entender o que são as odds, que traduzido para o português
significam “chances”. Uma odd de 2,75 indica que o retorno será 2,75 vezes o valor apostado. Ou seja: uma aposta de 4 reais
que é vencedora com essa odd dá um retorno de 11 reais (4 vezes 2,75 é igual a 11).
Vamos considerar um exemplo: um jogo entre Vasco e Palmeiras. As odds de uma casa de apostas para esse jogo podem ser:
• 4,41 para vitória do Vasco;
• 3,74 para empate;
• 1,79 para vitória do Palmeiras.
As probabilidades implícitas (inversos das odds) para esse jogo são: 22,68% de vitória do Vasco; 26,74% de empate e 55,86%
de vitória do Palmeiras.
Uma professora resolveu problematizar a questão das casas de apostas no Brasil. Solicitou aos estudantes que simulassem uma
aposta de uma pessoa que distribuiu seu dinheiro de forma diretamente proporcional às três probabilidades implícitas do jogo
Vasco e Palmeiras citado no texto.
Ela observou que, se os eventos são mutuamente exclusivos e a soma das probabilidades é 100%, então a aposta proporcional
é neutra, isto é, se R$ 100 são apostados, o retorno é exatamente R$ 100. Ilustrou isso com um exemplo: a probabilidade de se
tirar um múltiplo de 3 num dado não viciado é 
e a probabilidade de não se tirar um múltiplo de 3 é 
As odds são portanto 3 e 1,5, respectivamente. Uma aposta proporcional de R$ 100 é aproximadamente igual a apostar R$ 33,33 num múltiplo de 3
e R$ 66,67 em não sair um múltiplo de 3. Então, se não sair um múltiplo de 3, o retorno é (1,5) × (66,67) que, não fosse a
aproximação, seria exatamente R$ 100. Analogamente, se sair um múltiplo de 3, o retorno é exatamente o que se apostou ao todo.
Assim, as casas de apostas modificam as odds para que as apostas proporcionais, caso permitidas, não sejam neutras, mas
perdedoras.
e a probabilidade de não se tirar um múltiplo de 3 é As odds são portanto 3 e 1,5, respectivamente. Uma aposta proporcional de R$ 100 é aproximadamente igual a apostar R$ 33,33 num múltiplo de 3
e R$ 66,67 em não sair um múltiplo de 3. Então, se não sair um múltiplo de 3, o retorno é (1,5) × (66,67) que, não fosse a
aproximação, seria exatamente R$ 100. Analogamente, se sair um múltiplo de 3, o retorno é exatamente o que se apostou ao todo.
Assim, as casas de apostas modificam as odds para que as apostas proporcionais, caso permitidas, não sejam neutras, mas
perdedoras.GALLAS, D. Bets: por que você quase sempre vai perder dinheiro com apostas esportivas, segundo a matemática.
Disponível em: www.bbc.com. Acesso em: 16 maio 2025 (adaptado).
CHIARELLO, A. P. R.; BERNARDI, L. S. Educação financeira crítica: novos desafios na formação continuada de professores. Boletim GEPEM, n. 66, 2014 (adaptado).
Em relação às ideias de Skovsmose (2007) e à aposta proporcional no exemplo do jogo entre Vasco e Palmeiras, a proposta da
professora trata-se de um convite
Q3711299
Matemática
Texto associado
A Arquitetura e a Matemática mantêm uma relação indissociável, essencial em todas as etapas do processo de criação e construção
de espaços. A Matemática contribui com cálculos, proporções, equações e conceitos da geometria espacial, fundamentais para o
dimensionamento de estruturas como pilares, vigas, lajes, além do desenvolvimento de plantas, maquetes e projetos luminotécnicos.
Esses elementos garantem não somente a funcionalidade das edificações, mas também sua harmonia estética, segurança e
eficiência, mostrando que a Matemática não apenas colabora com a Arquitetura, ela é parte vital de sua essência. Um exemplo
contemporâneo dessa integração entre forma e cálculo é o Hotel Luxor, em Las Vegas.
Hotel Luxor, Las Vegas, Estados Unidos
Disponível em: www.eunagringa.com.br. Acesso em: 25 maio 2025.
Os professores de Matemática e Arte propuseram aos estudantes do Ensino Médio a construção de uma maquete proporcional
do Hotel Luxor, cuja estrutura tem o formato de uma pirâmide regular de base quadrada. A pirâmide real tem aproximadamente
110 m de altura e 220 m de aresta da base. A maquete deveria ser construída em escala 1 : 500, utilizando materiais como
papelão, madeira leve e cola quente.
Com base nas informações fornecidas, os estudantes devem calcular as dimensões proporcionais e o volume da pirâmide em escala. Qual alternativa representa corretamente essas medidas da maquete?
Com base nas informações fornecidas, os estudantes devem calcular as dimensões proporcionais e o volume da pirâmide em escala. Qual alternativa representa corretamente essas medidas da maquete?
Q3711300
Matemática
Em uma aula de Matemática, o professor divide os estudantes em quatro grupos para fazer uma roda de conversa sobre
sequências.
Ele apresenta a sequência an =
, na qual n pertence ao conjunto dos números inteiros positivos. Logo após, pergunta aos grupos qual é o comportamento dessa sequência à medida que o valor de n aumenta.
Cada grupo discute e compartilha sua resposta:
Grupo 1: a sequência diverge porque os sinais de an se alternam.
Grupo 2: a sequência tende para o infinito, pois seus termos ficam cada vez maiores.
Grupo 3: a sequência converge para zero, pois seus termos ficam cada vez menores e se aproximam cada vez mais de zero.
Grupo 4: a sequência tem como limite 1, pois a1 = 1 e esse resultado determina os demais valores da sequência.
Qual grupo apresenta a conjectura correta sobre o comportamento dessa sequência?
Ele apresenta a sequência an =
, na qual n pertence ao conjunto dos números inteiros positivos. Logo após, pergunta aos grupos qual é o comportamento dessa sequência à medida que o valor de n aumenta. Cada grupo discute e compartilha sua resposta:
Grupo 1: a sequência diverge porque os sinais de an se alternam.
Grupo 2: a sequência tende para o infinito, pois seus termos ficam cada vez maiores.
Grupo 3: a sequência converge para zero, pois seus termos ficam cada vez menores e se aproximam cada vez mais de zero.
Grupo 4: a sequência tem como limite 1, pois a1 = 1 e esse resultado determina os demais valores da sequência.
Qual grupo apresenta a conjectura correta sobre o comportamento dessa sequência?
Q3711302
Matemática
Texto associado
Uma professora de Matemática propôs aos estudantes o estudo do Teorema do Resto Chinês. Os estudantes então pesquisaram
e encontraram a seguinte informação:
“Se alguém conhece os restos da divisão euclidiana de um inteiro n por vários inteiros, então pode determinar o resto da divisão
de n pelo produto desses inteiros, sob a condição de que sejam primos entre si, dois a dois. Por exemplo, se soubermos que
o resto de n dividido por 3 é 2, o resto de n dividido por 5 é 3 e o resto de n dividido por 7 é 2, então, sem saber o valor de n,
podemos determinar que o resto de n dividido por 105 (o produto de 3, 5 e 7) é 23”.
Na aula, os estudantes mencionaram que não haviam entendido como o número 23 foi obtido. A professora, então, respondeu
à dúvida. Enunciou o Teorema e, em seguida, apresentou o procedimento convencional para determinar o valor de n que,
resumidamente, consiste em:
1. calcular o produto m = 3 · 5 · 7 = 105;
2. obter M1 = 
= 35, M2 = 
= 21 e M3 = 
= 15;
= 35, M2 = = 21 e M3 = = 15;3. calcular os inversos de M1 (mod 3), M2 (mod 5) e M3 (mod 7), respectivamente denotados por N1, N2 e N3;
4. calcular o resto da divisão de 2 · M1 ⋅ N1 + 3 ⋅ M2 ⋅ N2 + 2 ⋅ M3 · N3 por 105.
Para o item 3, ela apresentou o seguinte detalhamento: “Para calcular o inverso de um número inteiro M (mod L), em que L é
um inteiro positivo com mdc(M, L) = 1:
I.
Calcule o resto da divisão de M por L, chame-o de R.
II. Encontre, entre todos os possíveis restos não nulos de uma divisão por L, o único que, multiplicado por R, resulte num
número da forma k ⋅ L + 1, para algum inteiro k.
O número encontrado no item II é o inverso de M (mod L)”
Os estudantes calcularam os inversos, obtiveram N1 = 2, N2 = 1, N3 = 1 e conferiram as outras contas.
Com base no procedimento apresentado pela professora, os estudantes analisaram a informação que encontraram, de que o
resto da divisão de n por 105 é 23, e concluíram que está
Q3711304
Matemática
Texto associado
Ball, Thames e Phelps (2008) conjecturam que (1) o conhecimento do conteúdo poderia ser subdividido em CCK (conhecimento comum do conteúdo) e SCK (conhecimento especializado do conteúdo); (2) o conhecimento pedagógico do conteúdo poderia ser subdividido em KCS (conhecimento do conteúdo e de estudantes) e KCT (conhecimento do conteúdo e de ensino) (Shulman, 1986).
Em síntese, eles definem: reconhecer uma resposta errada é um conhecimento comum do conteúdo (CCK); dimensionar rapidamente a natureza de um erro, especialmente aqueles que não são familiares, é um conhecimento especializado do conteúdo (SCK); ter familiaridade com os erros comuns e saber por que diversos estudantes os cometem é um conhecimento de conteúdo e de estudantes (KCS); selecionar uma abordagem de ensino que seja eficiente para superar certas dificuldades e/ou explorar certos aspectos de um conteúdo é um conhecimento do conteúdo e de seu ensino (KCT).
Os professores sabem resolver o exercício e sabem que tal resposta é incorreta, mas ensinar envolve mais do que identificar respostas incorretas. O professor deve ser capaz de procurar as fontes do erro. Efetivamente, a análise de erros é uma prática comum entre os matemáticos no decorrer de seu próprio trabalho; essa tarefa, no ensino, difere somente pelo fato de que enfoca os erros produzidos pelos estudantes.
Nesse contexto, foi feita uma pesquisa com base na pergunta: Quantos pares (x, y) de números reais existem, tais que x + y = xy = 
?
? Uma resposta obtida e analisada por pesquisadores em um estudo foi a seguinte:
RIBEIRO, A. J. Equação e conhecimento matemático para o ensino: relações e potencialidades para a
Educação Matemática. Boletim de Educação Matemática (BOLEMA), 2012 (adaptado).
CURY, H. N.; RIBEIRO, A. J.; MÜLLER, T. J. Explorando erros na resolução de equações: um caminho para a formação do
professor de Matemática. Union-Revista Ibero-americana de Educación Matemática, n. 28, 2011 (adaptado).
Em relação à solução apresentada para a pergunta da pesquisa, o conhecimento comum de conteúdo, mais especificamente o
conhecimento comum de Matemática, permite ao professor identificar que
Q3711307
Matemática
Acompanhando o intervalo de uma escola de Ensino Médio, uma professora de Matemática escutou alguns estudantes
conversando sobre a perda de um celular.
Atenta ao diálogo, a professora resolveu conciliar a curiosidade dos estudantes com o estudo de conceitos de geometria. Para concretizar a sua ideia, ela propôs uma tarefa de Modelagem Matemática para os estudantes na qual eles pudessem analisar de forma crítica uma situação envolvendo a ciência e a tecnologia. O problema era o seguinte:
O problema do celular perdido
Um celular perdido precisa ser encontrado. Felizmente, três torres de celular detectam o sinal. Um sistema de coordenadas cartesianas usado pela cidade indica a localização das torres. As medidas estão em metro. O centro da cidade está localizado na origem e as torres nos pontos A, B e C.
• A torre de celular A está na posição (-300, 300).
• A torre de celular B está na posição (300, 300).
• A torre de celular C está na posição (500, -200).
A torre A detecta o sinal a uma distância de 447,2 metros. A torre B detecta o sinal a uma distância de 282,8 metros. A torre C detecta o sinal a uma distância de 500 metros.
Analisando as informações, qual modelo permite determinar o ponto de localização do celular perdido?
Atenta ao diálogo, a professora resolveu conciliar a curiosidade dos estudantes com o estudo de conceitos de geometria. Para concretizar a sua ideia, ela propôs uma tarefa de Modelagem Matemática para os estudantes na qual eles pudessem analisar de forma crítica uma situação envolvendo a ciência e a tecnologia. O problema era o seguinte:
O problema do celular perdido
Um celular perdido precisa ser encontrado. Felizmente, três torres de celular detectam o sinal. Um sistema de coordenadas cartesianas usado pela cidade indica a localização das torres. As medidas estão em metro. O centro da cidade está localizado na origem e as torres nos pontos A, B e C.
• A torre de celular A está na posição (-300, 300).
• A torre de celular B está na posição (300, 300).
• A torre de celular C está na posição (500, -200).
A torre A detecta o sinal a uma distância de 447,2 metros. A torre B detecta o sinal a uma distância de 282,8 metros. A torre C detecta o sinal a uma distância de 500 metros.
Analisando as informações, qual modelo permite determinar o ponto de localização do celular perdido?
Q3711309
Matemática
Um professor de Matemática de Ensino Médio solicitou aos seus estudantes o esboço, com o uso de software, do gráfico de
duas funções contínuas: f1, tal que f1(0) = 1 e f1(1) = - 1 e f2, tal que f2(0) = 1 e f2(1) = 1. O professor selecionou e apresentou
à turma alguns dos gráficos elaborados e solicitou que, com base nas observações, enunciassem condições para a existência
ou não de raízes.
Quatro estudantes apresentaram suas conjecturas, explicitadas nas alternativas. Está correto quem afirmou que
Quatro estudantes apresentaram suas conjecturas, explicitadas nas alternativas. Está correto quem afirmou que
Q3711310
Matemática
Os quiocos vivem no nordeste de Angola e fazem desenhos na areia, conhecidos no idioma local por Sona. Um mestre Sona
tem a habilidade de fazer seus desenhos sem retirar o dedo da areia até o fechamento da linha que está traçando. Além disso,
ele sabe quantas linhas fechadas haverá antes mesmo de começar a desenhar, apenas observando o número de filas e colunas
pertencentes a uma rede retangular de pontos. Para executar o desenho, começa-se um traçado com um ângulo de 45° em
relação à horizontal e, ao chegar a um lado do retângulo, faz-se uma curva sob um ângulo de 90° para continuar a desenhar
a linha. Assim que uma linha retorna ao ponto inicial, entende-se que foi fechada. Caso existam pontos que ainda não foram
contornados, uma outra linha se inicia até que todos os pontos estejam contornados. A figura representa corpos de leoas de
diferentes tamanhos criados por um mestre Sona.
GERDES, P. Vivendo a Matemática: desenhos da África. São Paulo: Scipione, 1990 (adaptado).
Uma professora fez a seguinte pergunta aos estudantes: “Caso vocês fossem mestres Sona, quantas linhas fechadas haveria num corpo de leoa para uma rede retangular de pontos com 6 filas e 9 colunas?”. Diferentes conjecturas foram feitas e, dentre elas, a que representa o conhecimento do povo quioco expresso nos desenhos na areia é:
GERDES, P. Vivendo a Matemática: desenhos da África. São Paulo: Scipione, 1990 (adaptado).
Uma professora fez a seguinte pergunta aos estudantes: “Caso vocês fossem mestres Sona, quantas linhas fechadas haveria num corpo de leoa para uma rede retangular de pontos com 6 filas e 9 colunas?”. Diferentes conjecturas foram feitas e, dentre elas, a que representa o conhecimento do povo quioco expresso nos desenhos na areia é:
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