Alguns economistas estão discutindo sobre a volatilidade dos preços em duas economias, relativamente parecidas, tendo como moedas peras (A) e maçãs (B). Sabe-se que as médias dos preços são 100 peras e 120 maçãs, respectivamente. É fornecido, ainda, o desvio-padrão dos preços em A, igual a 25 peras, e a variância em B, igual a 400 maçãs ao quadrado.

Considerando as principais medidas estatísticas de dispersão como medidas de volatilidade, é correto afirmar que:

Para uma distribuição de frequências apenas parcialmente conhecida são fornecidas as seguintes estatísticas,

Mo(X)= 19 , E(X²) = 625 e Me(X) = 22

sendo Mo, a moda e Me, a mediana dos dados. Sabe-se ainda que a distribuição é unimodal.

Esse conjunto bem restrito de informações seria compatível apenas com:

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com variâncias iguais a 21 e 17, respectivamente. Além disso, sabe-se que a variável Z representada pela diferença entre as duas tem variância igual a 44.

Com base em tais informações, é correto deduzir que:

Sejam X e Y variáveis aleatórias do tipo Bernoulli, assumindo valores  x₁, x₂, y₁ e y₂ respectivamente. Também é sabido que P(X = x₁ / Y = y₂ ) = 0,60 e P(Y =y₁ )= 0,75.

Então:

Suponha que o número de pessoas aguardando em uma fila segue, por unidade de tempo, uma distribuição de Poisson, com parâmetro que depende do atendente. O funcionário de 2ª, 4ª e 6ª produz λ = 20, enquanto o de 3ª e 5ª λ = 15.

Assim, sobre a variável “número de pessoas esperando em um dia aleatório”, é correto afirmar que:

Sabe-se que o tempo de aplicação de um questionário em uma pesquisa de campo é uma variável com distribuição uniforme entre 8 e 20 minutos. Um entrevistador pretende aplicar três questionários.

Logo, é correto afirmar que:

Suponha que certa característica de uma dada população tem suas medidas distribuídas normalmente com média 40 e variância igual a 25. Um indivíduo deverá ser extraído ao acaso e sua característica observada. Considere também as seguintes informações:

ɸ(1,9) = 0,971, ɸ(1,6) = 0,945, ɸ(1,25) = 0,895 e ɸ(2,1) = 0,982

onde ɸ(.) = função distribuição acumulada da normal-padrão.

A probabilidade de o valor sorteado diferir por mais de vinte por cento da média verdadeira é:

Suponha que o tempo de vida útil da lâmpada de um Scanner seja distribuído exponencialmente com parâmetro β = 600 horas.

Se T representa a durabilidade da lâmpada, é correto afirmar que:

Suponha que de uma população muito numerosa de pessoas, formada por brancos, negros e mestiços, nas proporções 3:2:1 será extraída uma amostra de tamanho n = 12. O que se deseja é selecionar uma amostra que reflita perfeitamente as proporções de cores da população.

Então a probabilidade de que a amostra tenha a característica desejada é igual a:

Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional que em dada amostra assumiu o seguinte conjunto de valores:

(1,16), (5,8) e (9, 3)

PS: Use, nos cálculos, √43 ≅ 6,5 .

Logo, a estimativa para o coeficiente de correlação de Pearson para o par (X, Y) obtido pelo método dos momentos será aproximadamente:

Considere a distribuição conjunta (X,Y) abaixo especificada.

Com base nessa função de probabilidade temos que:

O responsável pelo planejamento de uma pesquisa acredita que, a priori, a probabilidade de que um indivíduo tenha uma determinada opinião, positiva, é de 80%. Para avaliar melhor essa crença, o responsável realiza um experimento no qual a opinião é positiva em 40% dos casos, quando o responsável julga a priori que não será assim; sendo positiva em 70% dos casos, quando ele prevê uma opinião positiva. No experimento, a opinião se mostrou positiva (ExpPos).

Portanto, a distribuição a posteriori, ou seja, após a realização do experimento, para a crença do responsável depois do experimento é:

Sejam X₁, X₂, X₃, ..., X₆₄ variáveis aleatórias discretas, com distribuição Binomial, todas com p = 0,25 e n = 12. Também são conhecidos valores da função distribuição acumulada da normal-padrão, mais especificamente:

ɸ(2) = 0,977, ɸ(1,5) = 0,933, ɸ(1,25) = 0,894

No caso da extração de uma amostra (n = 64), a probabilidade (desprezando o ajuste de continuidade) de que a soma dos valores seja superior a 207 é igual a:

Com o objetivo de verificar qual seria a forma funcional mais adequada a um modelo é feita uma transformação Box-Cox, estimando-se repetidas vezes o seguinte modelo:

Y* = α + β · X* + ε

H_o; λ = 0 vs H_α : λ = 1 e H_o : δ = 1 vs H_α : δ = 0

Em ambos os testes Ho foi rejeitada.

Então a forma funcional mais adequada ao modelo inicial é:

Para estimar a média de certa população μ, desconhecida, partindo apenas de duas observações amostrais, cogita-se o emprego de um dos seguintes estimadores, onde X₁ e X₂ representam os indivíduos da amostra ex ante.

Sobre os estimadores, é correto afirmar que:

Dois estimadores, , para um parâmetro populacional θ, têm seus Erros Quadráticos Médios (EQM) dados por:

Com base apenas nas expressões, onde as primeiras parcelas são as variâncias, é correto concluir que:

Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade dada por P(X = x) =(1 - )^x-1 para x = 1, 2, 3,..., onde p é um parâmetro desconhecido. Dispondo de uma amostra de tamanho n, x₁, x₂, x₃,...., x_n , o estimador de Máxima Verossimilhança de p é:

Uma amostra de cinco indivíduos é extraída aleatoriamente de uma dada população, obtendo-se os seguintes valores:

X₁ = 3, X₂ = 5, X₃ = 4 X₄ = 7 e X₅ = 11

Então a variância amostral e a estimativa não tendenciosa da variância populacional seriam iguais a, respectivamente:

Para estimar por intervalo da proporção de indivíduos que, em certa população, são portadores de diabetes, é extraída uma amostra aleatória simples (AAS) com tamanho n = 2500. Do total, 375 indivíduos foram classificados como portadores da doença. Adicionalmente, ɸ(.), a distribuição acumulada da normal-padrão assume os valores:

ɸ(1,96) = 0,975, ɸ(1,64) = 0,95, ɸ(1,28) = 0,90

Fazendo uso do limite superior da variância de proporções e com nível de significância de 10%, o intervalo de confiança procurado é:

O faturamento médio das empresas de determinado setor é desconhecido para os empresários de fora do mercado. Um deles, interessado em investir, já sabe que só vale a pena entrar no negócio caso o faturamento médio seja maior do que 80 unidades monetárias. Para avaliar esse mercado, um teste de hipóteses é realizado. Uma AAS (Amostra Aleatória Simples) de tamanho n = 100 é extraída, obtendo-se Sabe-se que o desvio padrão verdadeiro do faturamento é igual a 30 e a função distribuição acumulada de normal, ɸ(.), toma valores ɸ(1,96) = 0,975, ɸ(1,64) = 0,95, ɸ(1,28) = 0,90.

Sendo α o nível de significância, a decisão do teste deve ser: