Com frequência é importante transformar modelos não lineares em modelos lineares. Sendo assim, o seguinte modelo exponencial, no qual as variáveis são x e, z1 , z2 e, z3 e os demais termos b1 , b2 e b3 , são parâmetros dados:

                         


Uma possível linearização do modelo dado é fazer t=log(x) e, yi = log(zi ), para i=1,2,3. Após a aplicação dessa linearização, obtém-se a seguinte equação:

Considere a seguinte equação estocástica de segunda ordem: y_t = 1,5 y_t-1 – 0,5 y_t-2 + ε_t . Encontre a solução homogênea para essa equação estocástica de segunda ordem dada.

Sejam Z₁ e Z₂ duas variáveis randômicas normais unitárias. Sejam ainda X₁ e X₂ variáveis randômicas que são obtidas do seguinte modo:

X₁ =1,5 Z₁ +1,2 Z₂ + 3

X₂ =1,3 Z₁ +0,9 Z₂ + 5

Pode-se então dizer que as variáveis randômicas X₁ e X₂ têm distribuições normais multivariadas com as seguintes médias e variâncias:

O desvio-padrão de uma população é conhecido e igual a 20 unidades. Se uma amostra de cem elementos, retirada dessa população, forneceu uma média de X_Média = 115,8, pode-se afirmar que a média dessa população é inferior a 120 unidades, ao nível de 5% de significância, testando a Hipótese:

H₀ , µ = 120

H₁ , µ < 120

Assinale a opção correta, baseada nos dados acima.

Ao se determinar a taxa de chegadas de passageiros preferenciais (λ₁ ) e passageiros não preferenciais (λ₂ ) no guichê de uma companhia aérea, observou-se que a taxa de chegadas dos passageiros preferenciais é igual a dois passageiros por minuto (λ₁ = 2) e a taxa de chegadas dos passageiros não preferenciais é igual a três passageiros por minuto (λ₂ = 3). Além disso, observou-se que estas duas chegadas ocorrem de acordo com um processo de Poisson. Indique qual a probabilidade de que exatamente cinco passageiros, P(X=5), contando os passageiros preferenciais e os não preferenciais, chegarão ao guichê no intervalo de um minuto (caso seja necessário, use o valor de e=exp(1) = 2,72).

A probabilidade de haver atraso em um voo em um determinado aeroporto em uma hora é dada pela seguinte função de densidade de probabilidade f(x):

                    

Pede-se para determinar o valor de c para a função de densidade probabilidade f(x) acima e indicar qual a probabilidade de P(0<x<1).

Considere o seguinte processo auto regressivo de segunda ordem: y_t = a₀ + a₂ y_t-2 + ε_t ., onde | a₂ | < 1. A partir desta equação, de segunda ordem, encontre E_t-2y_t e E_t-1y_t.

Uma distribuição Binomial pode ser aproximada por uma distribuição de Poisson, quando a probabilidade do evento é pequena de ocorrer e a população considerada é relativamente grande. Assuma esta aproximação para o problema descrito a seguir. Considere que passageiros chegam a um aeroporto a uma taxa média de três passageiros por segundo. Pede-se para determinar, com uma boa aproximação, qual a probabilidade (P) de que não mais de dois passageiros chegarão ao aeroporto em um intervalo de um segundo (caso seja necessário, use o valor de e=exp(1) = 2,72).

Um estudo foi realizado para investigar a resistência do solo (y) ao cisalhamento quando relacionado à profundidade (x₁ ), dada em centímetros, e ao conteúdo de umidade (x₂ ) dado em %. Dez observações foram realizadas, e as seguintes grandezas foram obtidas: n=10, ∑x_i1=221, ∑x_i2=533, ∑x_i1²=5300,8; ∑x_i2²=29316 ∑y_i =2033, e ∑x_i1²x_i2=13217, ∑x_i1y_i =45557; ∑x_i2y_i =107298,7; ∑y_i =369497,3. Pede-se para estabelecer as equações de mínimos quadrados para o modelo: Y=α₀ +α₁ x₁ +α₂ x₂ +ε.

Após a coleta de dados, um software foi aplicado para calcular parâmetros numéricos de uma amostra de dados. Os resultados obtidos são mostrados na tabela a seguir:

Pede-se para determinar os dados que estão faltando acima, que são: N (tamanho da amostra), a Média e a Variância (S2) da respectiva amostra.

Um trabalho realizado para a análise de concreto apresentou dados a respeito da resistência à compressão, t, e à impermeabilidade intrínseca, w, de várias misturas e curas de concreto. Um sumário das grandezas é o seguinte: n=14, ∑t_i =43, ∑t_i² =157,42, ∑w_i =572, ∑w_i² =23530 e ∑t_i w_i =1697,80. Considere ainda que as duas variáveis estão relacionadas de acordo com um modelo de regressão linear simples. Calcule as estimativas de mínimos quadrados da inclinação e da interseção da reta para estas duas variáveis.

Uma população se encontra dividida em três estratos, com tamanhos, respectivamente, N₁ = 64, N₂ = 96 e N₃ = 48. Ao se realizar uma amostragem estratificada proporcional, oito elementos da amostra foram retirados do primeiro estrato. Indique qual o número total de elementos da amostra.

Há duas rotas para ir da cidade A para a cidade B, e duas outras rotas para ir da cidade B para a cidade C. Cada uma dessas quatro rotas pode estar bloqueada com probabilidade q, independentemente uma das outras. Determine a probabilidade de haver uma rota aberta da cidade A a cidade B dado que não há nenhuma rota aberta da cidade A para a cidade C. Essa probabilidade condicional pedida é representada por:

P(A tem rota aberta até B | A não tem rota aberta até C)

Em um determinado aeroporto, podem ocorrer dois eventos A e B, em que o evento A é a ocorrência de mau tempo e o evento B é a ocorrência de cancelamento de voos. Estes dois eventos A e B possuem as seguintes probabilidades: P(A)=4/5 e P(B)=1/3. A partir destes dados, pede-se para determinar os limites de P(A ∩ B).

Em um determinado município, 70% da população é favorável a um certo projeto. Se uma amostra aleatória de cinco pessoas dessa população for selecionada, então a probabilidade de exatamente três pessoas serem favoráveis ao projeto é igual a

Na tabela a seguir, estão listados os possíveis retornos de um projeto de investimentos e as respectivas probabilidades de ocorrências desses retornos:

O retorno médio esperado do Projeto A é igual a

Considere que, num determinado setor da ANAC, três pessoas, A, B e C, são responsáveis diariamente pelos relatórios das atividades desenvolvidas. Dos últimos 200 relatórios, A foi o responsável por 50, B foi responsável por 70 e C foi responsável por 80. Em 6% das vezes, o relatório de A apresenta algum tipo de erro, de B em 10% das vezes e de C em 5% das vezes. Seleciona-se ao acaso um relatório desses 200 e verifica-se que apresenta algum tipo de erro, então a probabilidade de ter sido elaborado por B é igual a

Os valores a seguir representam uma amostra

3 3 1 5 4 6 2 4 8

Então, a variância dessa amostra é igual a

Os valores a seguir representam a quantidade de aviões que decolaram por hora durante as 10 primeiras horas de certo dia.

33 34 27 30 28 26 34 23 14 31

Logo, levando em consideração somente essas 10 horas, pode-se afirmar corretamente que

Dado que o volume de refrigerante num copo enchido por uma máquina post-mix, varia uniformemente entre 270 ml e 300 ml, qual é o volume médio esperado num copo qualquer e a probabilidade de se obter um copo com menos de 290 ml, respectivamente?