Na expansão decimal do número  3  , o 100º algarismo após a ...

A expansão decimal de 3/7 é:

0.428571428571428571428571428571428571428571428571

Nota-se que há uma repetição sucessivas de um conjunto de algarismos de uma maneira padronizada, sendo este o conjunto que se repete sucessivamente:

"428571"

Ou seja, a cada 6 algarismos eles todos se repetem novamente, na mesma ordem.
Como a questão quer saber o 100º algarismo, divide 100 por 6, para descobrir quantas vezes esse conjunto inteiro se repete, o que resulta em 16,6666...
Ou seja, aquele conjunto se algarismos se repete inteiramente 16 vezes, porque o 0,6666 significa que a próxima repetição não chega ao final (que é o algarismo 1)

Bom, se o conjunto possui 6 algarismos e se repete no máximo 16 vezes sem chegar no 100º algarismo, multiplica-se 16 por 6 para descobrir em que posição está o algarismo 1 do 16º conjunto. 16 x 6 = 96. Ou seja, o número 1, que é o último algarismo se encontra na posição 96º

Basta começar a contar a partir do 97º para descobrir qual algarismo estará na posição 100º:

97º = 4
98º = 2
99º = 8
100º = 5
101º = 7
102º = 1
Daqui para frente começa a se repetir tudo de novo:
103º = 4
104º = 2
105º = 8
...

Portanto, o 100º algarismo após a vírgula é o 5.